Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Sa 28.04.2007 | | Autor: | aineias |
| Aufgabe | Sei GL(n,K) die Menge der invertierbaren nxn-Matrizen über dem Körper K.
Weisen Sie nach, dass mit A, B [mm] \in [/mm] GL(n,K) auch A^-1 [mm] \in [/mm] GL(n,K) und A * B [mm] \in [/mm] GL(n,K) ist. |
hallö!
meine frage: reicht es, wenn ich hier 2 matrizen (A nud B) als ein beispiel setze und damit zeige, dass A^-1 und A * B wieder zur menge der invertierbaren matrizen gehören??
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Hallo aineias,
ja, nimm [mm] \text{\underline{beliebige}} [/mm] invertierbare [mm] $n\times [/mm] n$ Matrizen $A$ und $B$ her und zeige, dass auch [mm] $A^{-1}$ [/mm] und $AB$ invertierbare [mm] $n\times [/mm] n$ Matrizen sind.
Ich glaube, das meintest du mit "als Beispiel setzen..", oder? Dann ist es nämlich ok 
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:26 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
wenn du mit "als Beispiel setzte" meinst, einfach zwei Matritzten zu nehmen, dann geht das nicht. Du musst das allgemein beweisen, also zum Beispiel so:
A,B invertierbar, also det(A) und det(B) sind nicht 0.
det(AB)=det(A)det(B) ist also auch nicht 0.
Daraus folgt: AB invertierbar.
[mm] det(A^{-1})=\bruch{1}{det(A)} [/mm] ist dann auch nicht 0, also ist auch das inverse invertierbar.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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