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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:03 Mi 12.01.2005 | | Autor: | maria |
Hallo. Ich habe folgende Aufgabe:
Gegeben sind die Matrizen [mm] B,C,D,E\in K^{n\times n}, [/mm] (E: Einheitsmatrix), und die Gleichung [mm] (X^{T}B)^{-1}C-D+E=0
[/mm]
Unter welchen Voraussetzungen ist diese Matrizengleichung eindeutig lösbar? Wie lautet die Lösung X?
Ich habs so probiert:
[mm] (X^{T}B)^{-1}C-D+E=0
[/mm]
[mm] (X^{T})^{-1}B^{-1}C-D+E=0
[/mm]
[mm] (X^{T})^{-1}B^{-1}C=D-E
[/mm]
[mm] X^{T}(X^{T})^{-1}B^{-1}C=X^{T}(D-E)
[/mm]
[mm] EB^{-1}C=X^{T}(D-E)
[/mm]
[mm] B^{-1}C=X^{T}(D-E)
[/mm]
[mm] BB^{-1}C=BX^{T}(D-E)
[/mm]
[mm] EC=BX^{T}(D-E)
[/mm]
So, jetzt fallen mir keine erlaubten Umformungen mehr ein, die das irgendwie nach X auflösen. Wie bekomm ich das T weg? Und was ist in der Aufgabenstellung mit der Bedingung gemeint? Hilfe!!!! Bitte!
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Habe das wie folgt gerechnet:
[mm] (X^{T}B)^{-1} [/mm] C-D+E = 0
[mm] (X^{T}B)^{-1} [/mm] C = D-E | [mm] (X^{T}B) [/mm] von links multipliziert
C = [mm] (X^{T}B) [/mm] (D-E)
C = [mm] X^{T} [/mm] (B(D-E)) | [mm] (B(D-E))^{-1} [/mm] von rechts multipl.
C [mm] (B(D-E))^{-1} [/mm] = [mm] X^{T}
[/mm]
X = [mm] (C(B(D-E))^{-1})^{T} [/mm] ist dann die Lösung
Für Eindeutigkeit muss gelten:
B und (D-E) müssen regulär sein, d.h. das Inverse zu beiden muss existieren, sonst wären die Umformungen in der Form nicht möglich!
Somit dürfte Teil 2 dann ja kein Problem mehr sein!
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:10 Mi 12.01.2005 | | Autor: | maria |
vielen dank für die antwort. hat mir sehr gut geholfen  einwas ist mir aber noch nicht so ganz klar. wie du aus [mm] X^{T} [/mm] das X gemacht hast ist zwar irgendwie logisch, aber wurde das irgendwann mal bei uns in den vorlesungen so definiert? ich habe noch mal alles durchgeblättert und nix gefunden. Hmmm...also wenn du das weißt würde ich mich sehr freuen. Danke nochmal für die Antwort!!!!
Gruß, Maria
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:38 Mi 12.01.2005 | | Autor: | e.kandrai |
Es gilt: [mm](A^T)^T=A[/mm], genauso wie [mm](A^{-1})^{-1}=A[/mm]. So bekommt man ein "hoch T" oder ein "hoch -1" weg.
Dieselbe Aufgabe hatte ich heute Morgen im Forum "Lineare Algebra" gefunden. Hab die Aufgabe zwar nicht durchgerechnet, aber ein paar Tipps zur Lösung gegeben. Vielleicht interessiert es dich ja: hier isses.
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