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Hallo, beisammen
ich habe leider ein Problem bei folgenden Beweisen. Ich habe leider gar keine Ahnung wie das gehen soll, und ich muss es bis morgen fertig haben.
Wär super wenn jemand die Zeit findet mir ne Lösung zu präsentieren, mit Möglichkeit auch ne Erklärung.
Ich bin euch schon im Voraus dankbar.
Gruß Mario
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Es sei
U:={ [mm] \pmat{ a & b \\ -b & a } [/mm] | a,b [mm] \in \IR [/mm] }
a) Zeige, dass U ein Unterraum des [mm] \IR^{2x2} [/mm] ist. Bestimme die Dimension von U.
b) Zeige, dass U versehen mit der üblichenMatrixaddition und Matrixmultiplikation ein Körper ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Mi 18.05.2005 | | Autor: | Julius |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Mario!
> U:={ [mm]\pmat{ a & b \\ -b & a }[/mm] | a,b [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> a) Zeige, dass U ein Unterraum des [mm]\IR^{2x2}[/mm] ist. Bestimme
> die Dimension von U.
Du musst für einen Unterraum drei Dinge zeigen:
0) $0 [mm] \in [/mm] U$, wobei die $0$ der Nullvektor des Vektorraums (hier der Vektorraum der reellen $/2 [mm] \times [/mm] 2)$-Matrizen, d.h. der Nullvektor ist hier die Nullmatirx)
1) $A,B [mm] \in [/mm] U [mm] \quad \Rightarrow \quad [/mm] A+B [mm] \in [/mm] U$
2) $A [mm] \in U,\, \lambda \in \IR \quad \Rightarrow \quad \lambda \cdot [/mm] A [mm] \in [/mm] U$.
Das kannst du ja mal versuchen.
Bei 1) nimst du dir einfach zwei Matrizen aus $U$:
$A= [mm] \pmat{a & b \\ -b & a}$ [/mm] sowie [mm] $B=\pmat{c & d \\ -d & c}$,
[/mm]
und zeigst, dass auch deren Summe wieder von dieser Form ist. Ähnlich gehst du bei 2) vor.
Versuche es doch mal! 
> b) Zeige, dass U versehen mit der üblichenMatrixaddition
> und Matrixmultiplikation ein Körper ist.
Hier musst du zusätzlich zeigen, dass $U$ bezüglich der Multiplikation abgeschlossen ist
(es gilt aber: [mm] $\pmat{ a & b \\ -b & a} \cdot \pmat{c & d \\ -d & c} [/mm] = [mm] \pmat [/mm] {ac-bd & -ad+bc [mm] \\ [/mm] -bc +ad & -bd +ac} = [mm] \pmat{ ac-bd & -ad+bc \\ -(-ad+bc) & ac-bd}$),
[/mm]
dass $U$ ein Einslement bezüglich der Multiplikation besitzt
(ich würde es mal mit [mm] $\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}$ [/mm] versuchen)
und dass jedes Element aus $U$ ein multiplikatives Inverses besitzt. (Das lasse ich mal für dich als Knobelaufgabe. Aber du weißt ja sicherlich, wie man die Inverses von $(2 [mm] \times [/mm] 2)$-Matrizen berechnet, oder? Dann musst du nur zeigen, dass das Inverse von der richtigen Form ist...)
Liebe Grüße
Julius
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Super,
danke für die schnelle Antwort
Gruß
Mario
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