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| Aufgabe | Sei K ein Körper. Beweisen Sie, dass für alle A [mm] \in K^{p x q} [/mm] und alle B [mm] \in K^{q x r} [/mm] die Gleichung [mm] (AB)^{T} [/mm] =
[mm] A^{T} B^{T} [/mm] gilt.
Beweisen Sie ebenfalls, dass für alle A [mm] \in C^{p x q} [/mm] und alle B [mm] \in C^{q x r}die [/mm] Gleichung [mm] (AB)^{*} [/mm] = [mm] B^{*}A^{*} [/mm] gilt. |
Ich weiß nicht wirklich, wie man das mathematisch beweisen kann? würde es gehen, dies einfach an hand von variablen zu zeigen... oder wie sollte man sonst am besten an die aufgabe ran gehen. Ich hab immer das Problem, dass ich den Sinn zwar verstehe, aber nicht wirklich weiß, wie man die die aufgabe nun richtig beweißt.
Für einen kleinen Tip und etwas Hilfe wäre ich sehr dankbar :)
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Hallo,
> Sei K ein Körper. Beweisen Sie, dass für alle A [mm]\in K^{p x q}[/mm]
> und alle B [mm]\in K^{q x r}[/mm] die Gleichung [mm](AB)^{T}[/mm] = [mm]A^{T} B^{T}[/mm] gilt.
Das tut es auch nicht, i.A. ist das Produkt [mm]A^TB^T[/mm] so nicht definiert.
Es gilt wohl [mm](AB)^T=B^TA^T[/mm] ...
> Beweisen Sie ebenfalls, dass für alle A [mm]\in C^{p x q}[/mm] und
> alle B [mm]\in C^{q x r}die[/mm] Gleichung [mm](AB)^{*}[/mm] = [mm]B^{*}A^{*}[/mm]
> gilt.
> Ich weiß nicht wirklich, wie man das mathematisch
> beweisen kann? würde es gehen, dies einfach an hand von
> variablen zu zeigen... oder wie sollte man sonst am besten
> an die aufgabe ran gehen. Ich hab immer das Problem, dass
> ich den Sinn zwar verstehe, aber nicht wirklich weiß, wie
> man die die aufgabe nun richtig beweißt.
> Für einen kleinen Tip und etwas Hilfe wäre ich sehr
> dankbar :)
Du solltest über die Definition der Matrixmultiplikation gehen:
Nenne die Einträge von [mm]A \ \ \ a_{ij}[/mm], die von [mm]B \ \ \ b_{ij}[/mm]
Beginne mit der rechten Seite:
Den Eintrag [mm]ij[/mm] von [mm]B^TA^T\in\IK^{r\times p}[/mm] kannst du schreiben als [mm](B^TA^T)_{ij}=\sum\limits_{k=1}^p(B^T)_{ik}(A^T)_{kj}=\ldots[/mm]
Gruß
schachuzipus
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