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| Aufgabe | Sei I ein nichtentartetes Intervall und A: [mm] I\to \IR^{n \times n} [/mm] stetig. Wann ist [mm] exp(\integral_{x_0}^{x}{A(s) ds})Lösung [/mm] von y'=A(x)y. [mm] (x_0 [/mm] ist aus I)
Zeige dafür:
(i)Die Abbildung [mm] P_m:\IR^{n \times n} \to \IR^{n \times n}X\mapsto X^m [/mm] ist stetig differenzierbar und es gilt für alle [mm] Y\in \IR^{n \times n} [/mm]
[mm] DP_m(X)Y:= \limes_{t\rightarrow\0} \bruch{1}{t}(P_m(X+tY)-P_m(X))=\summe_{k=0}^{m-1} X^{m-k-1}YX^k
[/mm]
(ii)Die Abbildung
exp: [mm] \IR^{n \times n} \to \IR^{n \times n} X\mapsto [/mm] exp(X)ist stetig differenzierbar und es gilt für alle [mm] Y\in \IR^{n \times n} [/mm]
[mm] D(exp(X))Y=\summe_{m=1}^{\infty}\bruch{1}{m!} \summe_{k=0}^{m-1} X^{m-k-1}YX^k [/mm] |
Hallo,
ich habe i-wie ein Brett vorm Kopf.
Das einzige, was ich bis jetzt habe ist folgendes:
[mm] X^m= [/mm] exp(m Ln(X))
exp(X)= [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{X^k}{k!}
[/mm]
da X und [mm] \bruch{dX}{dt}nicht [/mm] kommutieren folgt
[mm] \bruch{d}{dt}X^m= \bruch{d}{dt}(XXX...X)= \bruch{dX}{dt} X^{n-1}+ [/mm] X [mm] \bruch{dX}{dt} X^{n-2}...+ X^{n-1}\bruch{dX}{dt}
[/mm]
ist das richtig so zu (i) oder denke ich auch hier total falsch?
Wie zeige ich, dass die Abbildungen stetig bzw. diffbar sind?
Und wie zeige ich die Gleichungen??
liebe Grüße blub
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 28.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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