Matrizen, Gruppe+Bijektivität < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Do 07.12.2017 | | Autor: | Flowbro |
| Aufgabe | Es seien m,n ∈N und K ein Körper .
I) Prüfen Sie für n ≥ 2, ob
a) S := {A ∈ GLn (K) : A symmetrisch} und
b) G :={A ∈ GLn (K) : [mm] A^T [/mm] = A^−1}
Gruppen bzgl. der Matrixmultiplikation sind.
II)Zeigen Sie, dass ϕ : C→C, z → [mm] \pmat{ (Rez) & (-Imz) \\ (Imz) & (Rez) }, [/mm] eine bijektive Abbildung mit ϕ(z + w) = ϕ(z) + ϕ(w), ϕ(z·w) = ϕ(z)·ϕ(w) für alle z,w ∈C ist. |
bei Ia) müsste doch keine Grupee vorhanden sein, da S nicht abgeschlossen bezüglich der Multiplikation ist, weil das Produkt zweier symmetrischer Matrizen nicht wieder eine symmetrische ergibt, oder?
Ib) hier weiß ich nicht wie man das zeigen soll, weil [mm] A^T [/mm] = A^−1 doch schon sehr speziell ist und ich nicht mal ein richtiges Beispiel finde. Zu zeigen ist aber doch die Abgeschlossenheit, das neutrale und inverse Element?
II)Hier ist mir nicht ganz klar, wie ich Injetivität und Surjektvität anhand der Matrix zeigen soll, da mir so etwas mit dem Rang oder der Determinante noch nicht hatten. Muss hier auch noch gezeigt werden, dass ϕ(z + w) = ϕ(z) + ϕ(w), ϕ(z·w) = ϕ(z)·ϕ(w) für die Matrix gilt?
Ich freue mich auf eure Antworten :-------))))))))))))
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Es seien m,n ∈N und K ein Körper .
> I) Prüfen Sie für n ≥ 2, ob
> a) S := {A ∈ GLn (K) : A symmetrisch} und
> b) G :={A ∈ GLn (K) : [mm]A^T[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= A^−1}
> Gruppen bzgl. der Matrixmultiplikation sind.
Hallo,
ich denke, Ihr habt bereits gezeigt, daß GLn (K) eine Gruppe ist.
Die Mengen S und G sind Teilmengen davon, so daß es reicht, die Untergruppenkriterien zu prüfen.
Diese sind:
S ist nichtleer (!), hier kann man z.B. gucken, ob das neutrale Element drin ist,
S ist abgeschlossen unter der fraglichen Verknüpfung,
zu jedem Element in S ist das inverse Element auch in S.
Das weißt Du, nicht wahr?
> bei Ia) müsste doch keine Grupee vorhanden sein, da S
> nicht abgeschlossen bezüglich der Multiplikation ist, weil
> das Produkt zweier symmetrischer Matrizen nicht wieder eine
> symmetrische ergibt, oder?
Stimmt.
Liefere am besten ein Beispiel für zwei symmetrische n\times n-Matrizen, deren Produkt nicht symmetrisch ist.
> Ib) hier weiß ich nicht wie man das zeigen soll, weil [mm]A^T[/mm]
> = A^−1 doch schon sehr speziell ist und ich nicht mal ein
> richtiges Beispiel finde. Zu zeigen ist aber doch die
> Abgeschlossenheit, das neutrale und inverse Element?
Genau.
Wir schauen erstmal, ob G nichtleer ist.
Dazu können wir prüfen, ob das neutrale Element aus Gln(K), also die Einheitsmatrix [mm] E_n [/mm] in S ist.
Um das herauszufinden, mußt Du schauen, ob [mm] (E_n)^T=(E_n)^{-1}.
[/mm]
Für die Abgeschlossenheit: seien [mm] A,B\in [/mm] G. Dann ist [mm] A^T=A^{-1} [/mm] und [mm] B^T=B^{-1}.
[/mm]
Prüfe nun, ob AB in G ist, ob also [mm] (AB)^T=(AB)^{-1}
[/mm]
Danach denke darüber nach, ob für [mm] A\in [/mm] G auch ihr Inverses [mm] A^{-1} [/mm] in G liegt.
Wegen der Beispiele: mit [mm] K=\IR [/mm] sind das die orthogonalen Matrizen, bei denen die Spaltenvektoren die Länge 1 haben und paarweise senkrecht zueinander sind. (Die Zeilenvektoren ebenfalls.)
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> II)Zeigen Sie, dass ϕ : C→C, z → [mm]\pmat{ (Rez) & (-Imz) \\ (Imz) & (Rez) },[/mm]
Deine Abbildung geht aber nicht nach [mm] \IC, [/mm] sondern jedem Element aus [mm] \IC [/mm] wird eine [mm] 2\times [/mm] 2-Matrix mit Einträgen aus [mm] \IR [/mm] zugeordnet.
Beispielsweise ist lt. Deiner Definition [mm] \Phi(1+2i)=\pmat{ (1 & -2 \\ 2 & 1 }.
[/mm]
> eine bijektive Abbildung mit ϕ(z + w) = ϕ(z) + ϕ(w),
> ϕ(z·w) = ϕ(z)·ϕ(w) für alle z,w ∈C ist.
>
>
>
> II)Hier ist mir nicht ganz klar, wie ich Injetivität und
> Surjektvität anhand der Matrix zeigen soll, da mir so
> etwas mit dem Rang oder der Determinante noch nicht hatten.
Zunächst einmal muß geklärt werden, wie die Abbildung wirklich definiert ist, bzw. was der Bildraum sein soll.
Dann geht es weiter anhand der Definitionen von Injektivität und Surjektivität.
> Muss hier auch noch gezeigt werden, dass ϕ(z + w) = ϕ(z)
> + ϕ(w), ϕ(z·w) = ϕ(z)·ϕ(w) für die Matrix gilt?
Ja, daß das für die Abbildung [mm] \Phi [/mm] (!) gilt, muß gezeigt werden.
LG Angela
>
> Ich freue mich auf eure Antworten :-------))))))))))))
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Fr 08.12.2017 | | Autor: | Flowbro |
Hallo angela,
es ist toll, dass mir mir hilfst.
Ib) $ [mm] E_n [/mm] $ in S gilt, da $ [mm] (E_n)^T=$ E_n $=(E_n)^{-1}. [/mm] $
auch gilt für $ [mm] A,B\in [/mm] $ G ist $ [mm] A^T=A^{-1} [/mm] $ und $ [mm] B^T=B^{-1}. [/mm] $
--> $ [mm] (AB)^T=B^T*A^T [/mm] und [mm] (AB)^{-1} [/mm] $ =B^-1*A^-1 und da $ [mm] A^T=A^{-1} [/mm] $ und $ [mm] B^T=B^{-1} [/mm] gilt ist die Aussage wahr!
auch müsste gelten, dass A^-1 in S liegt, da dann [mm] A=A^T [/mm] sein muss und das doch auch gilt, oder wie begründet man das?
--> Damit ist S eine Gruppe bzgl. *
II)
Hier habe ich jetzt die Abgeschlossenheit bzgl. + und * gezeigt und jetzt fehlt noch die Injektivität und Surjektivität.
bei Injektivität muss für z1=z2 auch ϕz1=ϕz2 sein und wenn man das einsetzt, dann gilt das doch auch.
Für Surjektvität muss für jedes $ [mm] \pmat{ (Rez) & (-Imz) \\ (Imz) & (Rez) }, [/mm] $
ein z gefunden werden, sodass f(z)=$ [mm] \pmat{ (Rez) & (-Imz) \\ (Imz) & (Rez) }, [/mm] $. Das müsste doch auch gelten, nur wie kann ich das zeigen?
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> Hallo angela,
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> es ist toll, dass mir mir hilfst.
> Ib) [mm]E_n[/mm] in S gilt, da [mm](E_n)^T=[/mm] [mm]E_n[/mm] [mm]=(E_n)^{-1}.[/mm]
>
> auch gilt für [mm]A,B\in[/mm] G ist [mm]A^T=A^{-1}[/mm] und [mm]B^T=B^{-1}.[/mm]
> --> $ [mm](AB)^T=B^T*A^T[/mm] und [mm](AB)^{-1}[/mm] $ =B^-1*A^-1 und da $
> [mm]A^T=A^{-1}[/mm] $ und $ [mm]B^T=B^{-1}[/mm] gilt ist die Aussage wahr!
>
> auch müsste gelten, dass A^-1 in S liegt, da dann [mm]A=A^T[/mm]
> sein muss und das doch auch gilt, oder wie begründet man
> das?
Hallo,
sei [mm] A\in [/mm] S, also [mm] A^T=A^{-1}.
[/mm]
Daß [mm] A^{-1} [/mm] auch in S ist, zeigst Du, indem Du vorrechnest, daß
[mm] (A^{-1})^{T}=(A^{-1})^{-1}.
[/mm]
> --> Damit ist S eine Gruppe bzgl. *
>
> II)
> Hier habe ich jetzt die Abgeschlossenheit bzgl. + und *
> gezeigt
???
Du hast gezeigt, daß die beiden Gleichungen gelten, oder?
>und jetzt fehlt noch die Injektivität und
> Surjektivität.
> bei Injektivität muss für z1=z2 auch ϕz1=ϕz2 sein und
> wenn man das einsetzt, dann gilt das doch auch.
Ich denke, Du solltest die Definition nochmal nachschlagen.
> Für Surjektvität
müßtest Du nun, wie bereits im anderen Beitrag erwähnt, mal sagen, welches die Zielmenge ist.
Ohne zu wissen, in welche Menge abgebildet wird, ist die Frage nach Surjektivität sinnlos.
LG Angela
>muss für jedes [mm]\pmat{ (Rez) & (-Imz) \\ (Imz) & (Rez) },[/mm]
>
> ein z gefunden werden, sodass f(z)=[mm] \pmat{ (Rez) & (-Imz) \\ (Imz) & (Rez) }, [/mm].
> Das müsste doch auch gelten, nur wie kann ich das zeigen?
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:44 So 10.12.2017 | | Autor: | Flowbro |
Ok, Nummer I habe ich jetzt geschafft, und ja bei II habe ich gezeigt, dass die Gleichungen gelten.
man beweist die Injektivität doch so, dass für alle a,b mit a=b auch f(a)=f(b) gelten muss, was in diesem fall halt Phi ist, oder nicht?
und bei Surjektivität muss nun für jedes y= $ [mm] \pmat{ (Rez) & (-Imz) \\ (Imz) & (Rez) }, [/mm] $ ein z gefunden werden mit f(z)= $ [mm] \pmat{ (Rez) & (-Imz) \\ (Imz) & (Rez) }, [/mm] $
Mein Problem hierbei ist nur, dass ich nicht genau weiß wie ich mit der Matrix in der Funktion umgehen kann und so die Axiome zeigen kann.
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> Ok, Nummer I habe ich jetzt geschafft, und ja bei II habe
> ich gezeigt, dass die Gleichungen gelten.
>
> man beweist die Injektivität doch so, dass für alle a,b
> mit a=b auch f(a)=f(b) gelten muss, was in diesem fall halt
> Phi ist, oder nicht?
Hallo,
sorry, aber das ist völliger Quatsch. Aus a=b folgt immer f(a)=f(b).
Eine Abbildung f ist injektiv, wenn gilt [mm]f(a)=f(b)\Rightarrow a=b[/mm].
Im konkreten Fall bedeutet das, dass zu zeigen musst, dass aus
[mm]\Phi(z)=\pmat{ (Re\ z) & (-Im\ z) \\ (Im\ z) & (Re\ z) }=\Phi(w)=\pmat{ (Re\ w) & (-Im\ w) \\ (Im\ w) & (Re\ w) }[/mm] folgt z=w.
Dies erscheint mir nicht allzu schwierig.
Und bezüglich der Surjektivität musst du, wie dir Angela schon geschrieben hat, erst einmal eine geeignete Zielmenge festlegen.
> und bei Surjektivität muss nun für jedes y= [mm]\pmat{ (Rez) & (-Imz) \\ (Imz) & (Rez) },[/mm]
> ein z gefunden werden mit f(z)= [mm]\pmat{ (Rez) & (-Imz) \\ (Imz) & (Rez) },[/mm]
>
> Mein Problem hierbei ist nur, dass ich nicht genau weiß
> wie ich mit der Matrix in der Funktion umgehen kann und so
> die Axiome zeigen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 So 10.12.2017 | | Autor: | Flowbro |
Habs geschafft und die Aufgabe gelöst ,vielen Dank
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