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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Matrizen Multiplikation
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Matrizen Multiplikation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:37 So 14.12.2008
Autor: Naaki

Aufgabe
Was bewirkt die Multiplikation einer dreizeiligen Matrix von links mit
a)
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4} [/mm]
b)
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0} [/mm]
c)
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} [/mm]

bzw.

d) [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1} [/mm]

Guten Nachmittag,

Ich hab absolut keine Ahnung wie diese Aufgabe gelöst werden muss, ich denke nur das die matrix mit der ich quasi multiplizieren muss als rechter Faktor auftauchen muss. Da es eine dreizeilige Matrix sein soll, könnte ja theoretisch es unendlich viele Spalten geben, bzw. auch nur eine Spalte, was mich zusätzlich verwirrt.

Weis jemand Rat?

Vielen Dank

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



        
Bezug
Matrizen Multiplikation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:50 So 14.12.2008
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Berechne doch einfach mal

$ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4} [/mm] * [mm] \pmat{ a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i} [/mm] $

Kannst du mit Worten beschreiben, wie sich das Ergebnis von der Ausgangsmatrix unterscheidet?


Für die 3. Aufgabe empfehle ich folgenden Trick:

$ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} [/mm]  * [mm] \pmat{ a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i} [/mm] = [mm] \underbrace{\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} * \pmat{ a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i}}_{=\pmat{ a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i}}+ \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0} [/mm]  * [mm] \pmat{ a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i}$ [/mm]

Bezug
                
Bezug
Matrizen Multiplikation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:13 So 14.12.2008
Autor: Naaki

Wenn ich die von dir gestellte Aufgabe wie unter a) beschrieben berechne,

dann sehe ich, das die erste Zeile gleich die erste Zeile der 2. Matrix ist, analog die 2. Zeile der "neuen Matrix.
Die 3. Zeile ist jeweils das 4-fache.
Ist das so richtig, und soll mir das die Lösung für a) sagen?

Bezug
                        
Bezug
Matrizen Multiplikation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:41 So 14.12.2008
Autor: angela.h.b.


> Wenn ich die von dir gestellte Aufgabe wie unter a)
> beschrieben berechne,
>
> dann sehe ich, das die erste Zeile gleich die erste Zeile
> der 2. Matrix ist, analog die 2. Zeile der "neuen Matrix.
>  Die 3. Zeile ist jeweils das 4-fache.
>  Ist das so richtig, und soll mir das die Lösung für a)
> sagen?

Hallo,

ja, das ist die Lösung für a). Die vierte zeile wird mit dem Faktor 4 multipliziert, die anderen bleiben unverändert.

Gruß v. Angela


Bezug
                                
Bezug
Matrizen Multiplikation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:04 So 14.12.2008
Autor: Naaki

Vielen Dank schonmal.

Allerdings versteh ich deinen Trick für die Teilaufgabe c) noch nicht so richtig.
Du hast quasi die Ausgangsmatrix duch "ausklammern" aufgespalten, doch wozu das?

Bezug
                                        
Bezug
Matrizen Multiplikation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:12 So 14.12.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Sebastian,

> Vielen Dank schonmal.
>  
> Allerdings versteh ich deinen Trick für die Teilaufgabe c)
> noch nicht so richtig.
>  Du hast quasi die Ausgangsmatrix duch "ausklammern"
> aufgespalten, doch wozu das?

Für Matrizen (mit passendem Format) gilt das Distributivgesetz: [mm] $(A+B)\cdot{}C=A\cdot{}C+B\cdot{}C$ [/mm]

Das macht die Sache hier insofern leichter, als dass du deine Ausgangsmatrix [mm] $\pmat{1&0&0\\2&1&0\\0&0&1}$ [/mm] schön in eine Summe aus Einheitsmatrix [mm] $E=\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}$ [/mm] und einer weiteren sehr einfachen Matrix [mm] $M=\pmat{0&0&0\\2&0&0\\0&0&0}$ [/mm] zerlegen konntest.

Die distributiven Produkte mit diesen einfachen Matrizen sind weitaus schneller und effizienter zu berechnen als das Produkt in der Ausgangsaufgabe


LG

schachuzipus

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