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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:19 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Kubs3 |
| Aufgabe | Angabe:
A= [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ a-1 & 3 & 4 }
[/mm]
[mm] \overrightarrow{b}= \vektor{3 \\ 4 \\ 5}
[/mm]
Fragen:
a) Determinante in Abhängigkeit von a?
b) a so wählen dass Rang = 2
c) .... so wählen das Gleichung [mm] A*\overrightarrow{x}=\overrightarrow{b} [/mm] lösbar wird.
d) Alle Lösungen der Gleichung
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Hi,
komme momentan bei dieser Aufgabe irgenwie nicht weiter und hoffe auf Eure Hilfe.
a) ist glaube ich kein Problem. Komme auf [mm] detA=a^2-6a+9
[/mm]
b) Die Theorie ist mir bekannt (auf Stuffenform bringen mit Gauß und dann a so wählen dass eine von den Zeilen 0 0 0 0 wird...aber:
Die Umformungen bekomme ich nicht hin. Andere ähnliche Bsp. schon. Hier liegt für mich das Problem dass die Variable in der 1 und 3 Spalte steht,....
c) Sehe ich nicht heraus weil meine Angabe vom Bsp. unvollständig ist. Denke aber dass dann [mm] \vec{x}=\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] ist und ich a so wählen muss das das system lösbar wird,....? D.h. dass [mm] detA\not=0 [/mm] ist. Sprich quadratische Gleichung lösen und ein a wählen dass nicht Lösung der quadratischen GL ist. Oder? Sprich ein [mm] a\not=3. [/mm]
d) sollte mit Gauß dann kein Prolem mehr darstellen
Hoffe auf ein Paar Tipps von Euch.
Vielen Dank im voraus!!!!
mfg
Jakob
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 Sa 06.02.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
Schritt 1)
Zeile 2 - Zeile 1
Zeile 3 - (a-1)*Zeile 1
Schritt 2)
Zeile 3 - (-a+4)*Zeile 3
Das ergibt für das Element [mm] A_{3,3} [/mm] eine quadratische Form in a
[mm] A_{3,3}=(a^2-6a+9)
[/mm]
Die Gleichung lösen, s.d. der Term [mm] A_{3,3} [/mm] Null wird.
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Kubs3 |
Danke für die schnelle Aantwort!
Bei Schritt 2 hast Du Zeile 3 - (-a+4)*Zeile 2 gemeint. Od?
Habe nicht daran gedacht das a-1 ganz zu eliminieren. Vielen Dank!
Sag, ist es Zufall das es genau der Determinantenberechnung entspricht? Oder kann man daraus was ableiten? Bzw. gibt es einen Zusamenhang zw. Rang 2 einer Matrix und der detA=0?
Ergebnise:
a) nach Sarus: detA in Anhängigkeit von a: [mm] a^2-6a+9
[/mm]
b) Nach Umformungen: 0 0 [mm] a^2-6a+9 [/mm] | -2a+4
[mm] a^2-6a+9=0 \Rightarrow [/mm] a=3
Bei a=3 ist RangA=2
c)/d) Gleichung wir lösbar wenn [mm] a\not=3 \Rightarrow [/mm] zB. a=2
[mm] \Rightarrow a^2-6a+9 [/mm] = -2a+4 [mm] \Rightarrow [/mm] 1z=1
[mm] \Rightarrow [/mm] z=0
y=1
x=2
Könnte das jemand mir bitte bestätigen.
Vielen Dank!!
mfg
Jakob
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Sa 06.02.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
da die Dreiecksform der Matrix auf der Diagonalen bis auf [mm] A_{3,3} [/mm] nur Einsen enthält, und die Determinante einer oberen Dreiecksmatrix das Produkt der Diagonalelemente ist, muss die Determinate identisch zu [mm] A_{3,3} [/mm] sein.
Matrizen mit Rang 1 haben allerdings auch eine Determinate = 0.
Der Rest ist richtig
mfg ullim
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