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Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hoffentlich kann mir jemand helfen!!
Aufgabe1a:
Sei K ein Körper und A,B [mm] \in [/mm] K(nxn), mit n [mm] \ge [/mm] 1
Zu zeigen ist:
tr(AB) = tr(BA)
tr soll die Spur der Matrix sein.
Aufgabe1b:
Zeige: Die Gleichung
AB - BA = E
1 0
E= 0 1
ist mit Matrizen A,B [mm] \in \IR [/mm] (n x n), mit n [mm] \ge [/mm] 1
unlösbar.
Ich hoffe ihr werdet daraus schlauer als ich, bin sehr dankbar für den kleinsten Hinweis!!
Chrissie
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Hallo Chrissie!
Das ist zum Glück nicht allzu schwer - keine Sorge, das bekommst Du heraus!
a)
Wenn $A = [mm] (a_{ij})_{i,j}$ [/mm] eine $(n [mm] \times [/mm] n)$-Matrix ist, dann ist die Spur doch so definiert:
$tr(A) = [mm] \sum_{k=1}^n a_{kk}$
[/mm]
Also einfach die Summe der Diagonalelemente.
Dann definiere doch einfach $C := AB$ und $D := BA$. Dann sind $C$ und $D$ zwei im Allg. verschiedene Matrizen. Die Einträge kannst Du hinschreiben und durch die Einträge von $A$ und $B$ ausdrücken.
Zeigen mußt Du nur noch: [mm] $\sum_{k=1}^n c_{kk} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^n d_{kk}$
[/mm]
Schreibe das in den Einträgen von $A$ und $B$, dann siehst es schon.
Und zur b): wende a) an! Du weißt schon, dass $tr(AB) = tr(BA)$ gilt und nach Definition ist außerdem klar: $tr(C + D) = tr(C) + tr(D)$.
Welche Spur hat also die Matrix $AB - BA$ immer? Und was ist mit der Einheitsmatrix?
Lars
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Hallo Lars!
Ersteinmal danke für deine Hinweise, ich bin nun zumindest ein Stück schlauer (o:
Ich habe noch eine Frage zur ersten Aufgabe:
Das mit der Definition von C und D hab ich verstanden, aber wie soll ich dann beweisen, dass die Spur von C gleich die Spur von D ist? Brauche ich dafür die allgemeine Definition von der Multiplikation von Matrizen und was meinst du mit ich soll das in den Einträgen von A und B schreiben bzw. ausdrücken?
Ich hoffe meine Frage erscheinen dir nicht als zu blöd,
danke im voraus
Chrissie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:35 So 14.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Chrissie!
> Ich habe noch eine Frage zur ersten Aufgabe:
> Das mit der Definition von C und D hab ich verstanden,
> aber wie soll ich dann beweisen, dass die Spur von C gleich
> die Spur von D ist? Brauche ich dafür die allgemeine
> Definition von der Multiplikation von Matrizen und was
> meinst du mit ich soll das in den Einträgen von A und B
> schreiben bzw. ausdrücken?
Exakt 
Viel Erfolg,
Marc
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