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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Mo 11.01.2010 | | Autor: | Nine89 |
| Aufgabe | [mm] \alpha [/mm] bildet P(-2/2), Q(0/5) und R(-4/5) auf P'(4/1), Q'(12/1) und R'(14/-4)ab.
a.) Stelle die Matrix [mm] \alpha [/mm] auf.
b.) Fixelemente
c.) Bilde T in T' (6/-4) ab |
Bitte um Korrektur evtl. um anderen Lösungsweg, fals meiner falsch ist. Bei bin ich mir gar nicht sicher wie ichs machen soll.
a) [mm] \alpha [/mm] : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] + [mm] \vektor{e \\ f} [/mm] * [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y}
[/mm]
wenn ich jetzt die Punkte und ihre Abbildungen einsetzt erhalte ich drei verschiedene Matrizen.
[mm] I.\alpha: \vec{x} [/mm] = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] * [mm] \vektor{-2 \\ 2}+ \vektor{e \\ f} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ -1}
[/mm]
II. [mm] \alpha: \vec{x} [/mm] = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 5}+ \vektor{e \\ f} [/mm] = [mm] \vektor{12 \\ 1}
[/mm]
III. [mm] \alpha: \vec{x} [/mm] = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] * [mm] \vektor{-4 \\ 5}+ \vektor{e \\ f} [/mm] = [mm] \vektor{14 \\ -4}
[/mm]
Somit erhalte ich 2x 3Gleichungen mit 3 Unbekannten:
1. -2a+2b+e= 4 -2c+2d+f=-1
2. 5b+e=12 5d+f= 1
3. -4a+5b+e=14 -4c+5d+f=-4
Durch ein Gleichungsystem erhalte ich
a= - 1/2 ; b= 3; c=3/4; d= - 1/2; e= -3 und f= 3/2
richtig?
b) also erhalte ich die Matrix [mm] \alpha: \vec{x} [/mm] = [mm] \pmat{ -1/2 & 3 \\ 3/4 & -1/2 } [/mm] + [mm] \vektor{-3 \\ 3/2} [/mm] * [mm] \vec{x} [/mm]
Um ein fixelement zu erhalten benötige ich [mm] \vektor{u \\ v} [/mm] oder und setze alles Gleich 0?
ALso
1. -1/2u + 3v + 3= 0
2. 3/4u - 1/2v + 3/2= 0
dann bekomme ich für v= 5/4 und für u =-3/2
Ist das dann der Fixpunkt?
ja und bei c brauche ich ja die Umkehrmatrix.
Die Bilde ich über [mm] \alpha [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm]
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \pmat{ -1/2 & 3 \\ 3/4 & -1/2 } [/mm] + [mm] \vektor{-3 \\ 3/2} [/mm] * [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm]
wobei mir nicht ganz klar ist ob ich bei der Umkehrmatrix e/f auch berücksichtigen muss...
also:
1. -1/2a+ 3c=1 -1/2b+ 3d=0
2. 3/4a+-1/2c=0 3/4b+-1/2d=1
a= 2 ; b= 2/3; c=0 und d= 1/9 ohne e/f ... wenn ich darauf Jetzt T' (6/-4) abbilde erhalte ich den Urpunkt T (9 1/3/4/9)
Wäre nett wenn mir das jemand berichtigt, fals was falsch ist :) und mir ggf. einen Lösungsweg mit der richtigen Lösung zeigt.
DANKE schonmal im vorraus!
Liebe Grüße Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Mo 11.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
> [mm]\alpha[/mm] bildet P(-2/2), Q(0/5) und R(-4/5) auf P'(4/1),
> Q'(12/1) und R'(14/-4)ab.
>
> a.) Stelle die Matrix [mm]\alpha[/mm] auf.
> b.) Fixelemente
> c.) Bilde T in T' (6/-4) ab
>
> Bitte um Korrektur evtl. um anderen Lösungsweg, fals
> meiner falsch ist. Bei bin ich mir gar nicht sicher wie
> ichs machen soll.
Zumindest die a) sieht vom Weg her ganz solide aus.
> a) [mm]\alpha[/mm] : [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] + [mm]\vektor{e \\ f}[/mm]
> * [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{x \\ y}[/mm]
>
> wenn ich jetzt die Punkte und ihre Abbildungen einsetzt
> erhalte ich drei verschiedene Matrizen.
>
> [mm]I.\alpha: \vec{x}[/mm] = [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] * [mm]\vektor{-2 \\ 2}+ \vektor{e \\ f}[/mm]
> = [mm]\vektor{4 \\ -1}[/mm]
>
> II. [mm]\alpha: \vec{x}[/mm] = [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] * [mm]\vektor{0 \\ 5}+ \vektor{e \\ f}[/mm]
> = [mm]\vektor{12 \\ 1}[/mm]
>
> III. [mm]\alpha: \vec{x}[/mm] = [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] * [mm]\vektor{-4 \\ 5}+ \vektor{e \\ f}[/mm]
> = [mm]\vektor{14 \\ -4}[/mm]
>
> Somit erhalte ich 2x 3Gleichungen mit 3 Unbekannten:
>
> 1. -2a+2b+e= 4 -2c+2d+f=-1
> 2. 5b+e=12 5d+f= 1
> 3. -4a+5b+e=14 -4c+5d+f=-4
>
> Durch ein Gleichungsystem erhalte ich
> a= - 1/2 ; b= 3; c=3/4; d= - 1/2; e= -3 und f= 3/2
>
> richtig?
>
> b) also erhalte ich die Matrix [mm]\alpha: \vec{x}[/mm] = [mm]\pmat{ -1/2 & 3 \\ 3/4 & -1/2 }[/mm] * [mm]\vec{x}[/mm] + [mm]\vektor{-3 \\ 3/2}[/mm]
Ich schätze, Du hast Dich irgendwo verrechnet, wenn ich [mm] $\alpha$ [/mm] auf Q anwende, kommt bei mir $Q' = (12/-1)$ statt $(12/1)$ raus. Der Rechenweg ist aber richtig.
> Um ein fixelement zu erhalten benötige ich [mm]\vektor{u \\ v}[/mm]
> oder und setze alles Gleich 0?
Fixelemente sind solche, die Du in die Funktion reinsteckst, und die danach wieder rauskommen, also für die gilt [mm] $\alpha(\vec{F}) [/mm] = [mm] \vec{F}$, $\alpha(.)$ [/mm] soll hier die Matrix und danach die Verscheibung darstellen, also [mm] $M\cdot\vec{F}+\vektor{e \\ f} [/mm] = [mm] \vec{F}$.
[/mm]
> ja und bei c brauche ich ja die Umkehrmatrix.
> Die Bilde ich über [mm]\alpha[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\pmat{ -1/2 & 3 \\ 3/4 & -1/2 }[/mm] + [mm]\vektor{-3 \\ 3/2}[/mm]
> * [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> wobei mir nicht ganz klar ist ob ich bei der Umkehrmatrix
> e/f auch berücksichtigen muss...
Ja, musst Du, aber wie folgt: Du kommt doch mit [mm] $\alpha$ [/mm] von [mm] $\vec{x}$ [/mm] nach [mm] $\vec{x}'$, [/mm] indem Du die Matrix $M$ auf [mm] $\vec{x}$ [/mm] anwendest und danach das Ergebnis um [mm] $\vec{V} [/mm] = [mm] \vektor{e \\ f}$ [/mm] verschiebst, also rechnest
[mm] $M\cdot\vec{x}+\vec{V} [/mm] = [mm] \vec{x}'$. [/mm]
Bei der Umkehrabblidung willst Du jetzt vom [mm] $\vec{x}'$ [/mm] zurück zum [mm] $\vec{x}$, [/mm] also die Gleichung nach [mm] $\vec{x}$ [/mm] auflösen:
[mm] $M\cdot\vec{x} [/mm] = [mm] \vec{x}'-\vec{V}$
[/mm]
[mm] $\vec{x} [/mm] = [mm] M^{-1}(\vec{x}'-\vec{V})$
[/mm]
Bei solchen Aufgaben kann man immer sehr leicht prüfen, ob das Ergebnis stimmt, indem man einfach die Vektoren, deren Bilder Du von der Aufgabenstellung her kennst, nochmal einsetzt.
Gruß,
AT-Colt
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