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Hallo, ich hoffe dieses Thema ist nicht zu allgemein, aber hoffentlich könnt ihr mir trotzdem helfen.
Das Problem ist, dass ich zur Zeit in der Mahte Vorlesung nicht mehr ganz mitkomme.
Wir haben die letze Vorlesung über lineare Gleichungssysteme gesprochen und über Vektorräume.
Nun hab ich ein paar Fragen, die mir hoffentlich jemand (anschaulich) beantworten kann. Würde mir zumindest sehr helfen und wüsste nicht an wen ich mich sonst wenden soll.
Hab mir auch schon ein Buch für Mathe gekauft, dadurch hab ich es schon etwas besser verstanden, aber halt noch nicht 100 % und das möchte ich gerne.
Also was ich zuerst einmal nicht verstehe ist, wie ich die Lösungen eines LGS finden kann, wenn es unendlich viele gibt.
In der Vorlesung hatten wir eine Beispielmatrix in der man Parameter frei wählen kann. Und zwar diese hier:
0 1 2 3 | 10
0 0 1 4 | 7
0 0 0 0 | 0
Wie kann ich die Lösungen für diese Matrix beispielsweise bestimmen?
Kann mir das jemand an diesem Beispiel erklären? Wüsste auch nicht wie ich da anfangen soll zu rechnen irgendwie.
Dann verstehe ich nicht, was es mit dem Unterraum auf sich hat.
Wir haben aufgeschrieben
Sei $U [mm] \subseteq \IK^n$ [/mm] mit [mm] $U\not=\emptyset$. [/mm] Da verstehe ich die durchgestirchene "0" erstmal gar nicht und sowieso verstehe ich die Sache mit dem Unterraum nicht. Wozu ist der gut, was kann man damit machen?
Dann habe ich nicht verstanden, was eine Basis bzw. die Dimension ist. Wir haben zwar aufgeschrieben, dass "die Anzahl der Elemte einer Basis von U Dimension von U" heißt, aber viel hilft mir das auch nicht weiter.
Das hat ja alles auch noch mit der linearen Abhängigkeit zu tun.
Auch hab ich nicht verstanden, was die lineare Hülle/der Spann ist.
Bisher bin ich in den Vorlesungen eigentlich ganz gut mitgekommen, aber ich weiß immernoch nicht was ich mit den o.g. Begriffen anfangen kann und inwiefern die wichtig zum Lösen linearer Gleichungssysteme sind. Wie das ja in Vorlesungen so ist, werden einfach die Definitionen angeschrieben und dann war's das ....
Wäre seeeehr hilfreich wenn mir mal jemand die Begriffe an einem Beispiel. Ich weiß, dass die Frage hier sehr allgemein ist, aber vielleicht kann mir ja trotzdem jemand helfen.
Wäre sehr dankbar. Auch über gute Links etc. würde ich mich freuen. Hab schon ein bisschen geschaut aber finde auch keine guten Erklärungen (mit Beispielen) im WWW.
Danke schonmal im Voraus :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:01 Mi 16.11.2011 | | Autor: | gnom347 |
Also wenn du mit einem begriff wie z.b Vektorraum so garnichts anfangen kannst würde ich dir empfehlen bei wikipedia nachzuschaun was wiki dazu sagt meistens ist es relativ verständlich.
>Hallo, ich hoffe dieses Thema ist nicht zu allgemein, aber
> hoffentlich könnt ihr mir trotzdem helfen.
>
> Das Problem ist, dass ich zur Zeit in der Mahte Vorlesung
> nicht mehr ganz mitkomme.
> Wir haben die letze Vorlesung über lineare
> Gleichungssysteme gesprochen und über Vektorräume.
>
> Nun hab ich ein paar Fragen, die mir hoffentlich jemand
> (anschaulich) beantworten kann. Würde mir zumindest sehr
> helfen und wüsste nicht an wen ich mich sonst wenden soll.
> Hab mir auch schon ein Buch für Mathe gekauft, dadurch hab
> ich es schon etwas besser verstanden, aber halt noch nicht
> 100 % und das möchte ich gerne.
>
> Also was ich zuerst einmal nicht verstehe ist, wie ich die
> Lösungen eines LGS finden kann, wenn es unendlich viele
> gibt.
> In der Vorlesung hatten wir eine Beispielmatrix in der man
> Parameter frei wählen kann. Und zwar diese hier:
>
> 0 1 2 3 | 10
> 0 0 1 4 | 7
> 0 0 0 0 | 0
>
> Wie kann ich die Lösungen für diese Matrix beispielsweise
> bestimmen?
Hier hasst du ja schon die matrix in zeilenstufenform.
also eigendlich steht hier ja
0*x1+1*x2+2*x3+3*x4=10
0*x1+0*x2+1*x3+4*x4=7
0*x1+0*x2+0*x3+0*x4=0
Mann sieht egal wie du x1 wählst änderst du ja nichts am ergebniss
also wählst du x1=a wobei a eine beliebige zahl ist.
Ausserdem ist die unterste Zeile eine nullzeile und du wählst x4=b
Damit steht in der Zweiten zeile x3*1+4*b=7
[mm] \Rightarrow [/mm] x3=7-4b
Und schlieslich steht dan in der obersten zeile:
x2+2*(7-4b)+3*b=10 [mm] \Rightarrow [/mm] x2+14-8b+3b=10
[mm] \Rightarrow [/mm] x2=-4-5b
Und damit ist eine Lösung : [mm] \{a , 4-5b , 7-4b , b \} [/mm] mit a,b bel.
Rechne aber mal lieber selber nach habs nur schnell runter geschrieben und mich villeicht verrechnet.
> Kann mir das jemand an diesem Beispiel erklären? Wüsste
> auch nicht wie ich da anfangen soll zu rechnen irgendwie.
>
> Dann verstehe ich nicht, was es mit dem Unterraum auf sich
> hat.
> Wir haben aufgeschrieben
> Sei [mm]U \subseteq \IK^n[/mm] mit [mm]U\not=\emptyset[/mm]. Da verstehe ich
> die durchgestirchene "0" erstmal gar nicht und sowieso
[mm] \emptyset [/mm] Das ist einfach nur ein zeigen für die lehre Menge manschmal wirst du auch [mm] \{\} [/mm] dafür sehen. Es bedeutet also nur das in dem Unterraum tatsächlich Elemente vorhanden sind.
> verstehe ich die Sache mit dem Unterraum nicht. Wozu ist
> der gut, was kann man damit machen?
Was mit einem Unterraum machen kann, werdet ihr in der vorlesung noch sehen. Schau dir fürs erste die definition von einem Unterraum an und villeicht ein beispiel für einen Unterraum.
>
> Dann habe ich nicht verstanden, was eine Basis bzw. die
> Dimension ist. Wir haben zwar aufgeschrieben, dass "die
> Anzahl der Elemte einer Basis von U Dimension von U"
> heißt, aber viel hilft mir das auch nicht weiter.
> Das hat ja alles auch noch mit der linearen Abhängigkeit
> zu tun.
Also die Definitionen für alle sachen kannst du dir selber raussuchen ich schreibe nur auf was ich unter den dingen verstehe.
Also linearen Abhängigkeit:
angenommen du hast elemente in einem Vektorraum
dann sind die elemente linear unabhängig,wenn du kein element durch eine kombination der anderen elemente schreiben kannst.
Dann brauchst du noch erzeugendensystem.
Ein erzeugendensystem ist eine anzahl von Elementen, mit denen du den ganzen Vektorrraum erzeugen kannst.Also jedes element in dem Vektorraum musst du dursch eine kombonation der elemente die in deinem erzeugendensystem sind schreiben können.
Hast du ein erzeugendensystem gefunden, und es ist auchnoch linear unabhängig, dann ist dieses erzeugendensystem eine basis.
Die Dimension eines VR ist einfach nur die menge der Elemente die in der Basis sind.
> Auch hab ich nicht verstanden, was die lineare Hülle/der
> Spann ist.
>
> Bisher bin ich in den Vorlesungen eigentlich ganz gut
> mitgekommen, aber ich weiß immernoch nicht was ich mit den
> o.g. Begriffen anfangen kann und inwiefern die wichtig zum
> Lösen linearer Gleichungssysteme sind. Wie das ja in
> Vorlesungen so ist, werden einfach die Definitionen
> angeschrieben und dann war's das ....
>
> Wäre seeeehr hilfreich wenn mir mal jemand die Begriffe an
> einem Beispiel. Ich weiß, dass die Frage hier sehr
> allgemein ist, aber vielleicht kann mir ja trotzdem jemand
> helfen.
>
> Wäre sehr dankbar. Auch über gute Links etc. würde ich
> mich freuen. Hab schon ein bisschen geschaut aber finde
> auch keine guten Erklärungen (mit Beispielen) im WWW.
>
> Danke schonmal im Voraus :)
>
>
>
Naja natürlich relativ schwer dir zu helfen wenn mann nicht genau weiss wo deine Probleme sind.
Versuch villeicht dich einzulesen und wenn du irgendwo ein Verständnissproblem hast, stell eine konkrete frage.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Do 17.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo lieber Namensvetter  !
Auch ich starte mal einen Erklärungsversuch.
1. Unterraum:
Sei V ein K-Vektorraum. Dann kann man sich fragen: Bilden gewisse Teilmengen [mm] $U\subseteq [/mm] V$ wieder einen K-Vektorraum?
Diese Frage ist noch etwas unpräzise: Mit welcher Addition und skalarer Multiplikation soll denn U dabei überhaupt versehen werden? Antwort: Mit der Addition und skalaren Multiplikation aus V! Zwei Vektoren aus U sollen genauso addiert werden, wie die Addition von V es vorgibt. Und ein Skalar [mm] $\lambda\in [/mm] K$ soll mit einem Vektor [mm] $v\in [/mm] U$ genauso multipliziert werden, wie die skalare Multiplikation von V es vorgibt.
Aber Halt! Erhalten wir so überhaupt Abbildungen [mm] $+\colon U\times U\to [/mm] U$ und [mm] $\cdot\colon K\times U\to [/mm] U$, wie es die Definition von "U ein Vektorraum" fordert? Antwort: Nur dann, wenn für beliebige Vektoren [mm] $v,w\in [/mm] U$ auch [mm] $v+w\in [/mm] U$ gilt und wenn für [mm] $\lambda\in\IK$ [/mm] und [mm] $v\in [/mm] U$ stets [mm] $\lambda\cdot v\in [/mm] U$ gilt.
Nichtleere Teilmengen U eines Vektorraumes V nennt man nun Unterraum, wenn diese beiden Bedingungen erfüllt sind.
Die gute Nachricht: In diesem Fall ist U mit den oben erklärten Verknüpfungen automatisch wieder ein Vektorraum! D.h. man kann sich das Nachrechnen der zahlreichen Vektorraumaxiome sparen und muss nur die drei Bedingungen für einen Unterraum prüfen.
Beispiel:
Sei ein homogenes lineares Gleichungssystem mit reellen Zahlen als Koeffizienten und mit n Unbekannten gegeben. Homogen heißt, dass "auf der rechten Seite" überall 0 steht.
Dann bildet die Lösungsmenge
[mm] $U=\{\vektor{x_1\\\vdots\\x_n}\in\IR^n|\vektor{x_1\\\vdots\\x_n}\mbox{ löst dieses Gleichungssystem}\}$
[/mm]
einen Untervektorraum von [mm] $V=\IR^n$.
[/mm]
2. Linearkombination:
Wenn [mm] $v_1,\ldots,v_n\in [/mm] V$ Vektoren eines K-Vektorraumes V sind: Welche neuen Vektoren können wir durch Rechenoperationen aus ihnen gewinnen? Wir könnten z.B. die Vektoren mit Skalaren [mm] $\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in [/mm] K$ multiplizieren und erhalten so Vektoren [mm] $\lambda_1\cdot v_1,\ldots,\lambda_n\cdot v_n$. [/mm] Dann könnten wir diese Vektoren z.B. addieren und erhalten so eine sogenannte Linearkombination von [mm] $v_1,\ldots,v_n$:
[/mm]
[mm] $\lambda_1v_1+\ldots+\lambda_nv_n=\sum_{i=1}^n\lambda_iv_i$.
[/mm]
Dann könnten wir diesen Vektor z.B. wieder mit einem Skalar multiplizieren, oder verschiedene Linearkombinationen von [mm] $v_1,\ldots,v_n$ [/mm] miteinander addieren. Doch auf diese Weise erhält man immer nur weitere Linearkombinationen von [mm] $v_1,\ldots,v_n$. [/mm] Alle Vektoren, die sich aus [mm] $v_1,\ldots,v_n$ [/mm] durch Addition und skalare Multiplikation gewinnen lassen, lassen sich als Linearkombination von [mm] $v_1,\ldots,v_n$ [/mm] darstellen.
Beispiel:
Sei [mm] $V=\IR^2$,
[/mm]
[mm] $v_1=\vektor{0\\1},v_2=\vektor{2\\3},v_3=\vektor{4\\5}$.
[/mm]
Dann wäre eine Linearkombination von [mm] $v_1,v_2,v_3$ [/mm] z.B.
[mm] $5\cdot\vektor{0\\1}+(-1)\cdot\vektor{2\\3}+\pi\cdot\vektor{4\\5}$.
[/mm]
3. lineare Hülle / Spann:
Die Menge aller Linearkombinationen von [mm] $v_1,\ldots,v_n\in [/mm] V$ wird als Spann von [mm] $v_1,\ldots,v_n$ [/mm] bezeichnet. Er ist also die Menge aller Vektoren, die sich aus [mm] $v_1,\ldots,v_n$ [/mm] durch Addition und skalare Multiplikation gewinnen lassen.
Der Spann von [mm] $v_1,\ldots,v_n$ [/mm] stellt ein weiteres Beispiel für einen Unterraum von V und damit für einen Vektorraum dar. Er ist sogar der kleinste Unterraum U von V, der [mm] $v_1,\ldots,v_n$ [/mm] enthält.
Beispiel (Fortsetzung vom Beispiel aus 2.):
Der Spann von [mm] $v_1,v_2,v_3$ [/mm] lautet
[mm] $\{\lambda_1\cdot\vektor{0\\1}+\lambda_2\cdot\vektor{2\\3}+\lambda_3\cdot\vektor{4\\5}|\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\in\IR\}$.
[/mm]
(Man kann zeigen, dass er gleich ganz [mm] $\IR^2$ [/mm] ist.)
4. Erzeugendensystem:
Vektoren [mm] $v_1,\ldots,v_n\in [/mm] V$ heißen Erzeugendensystem von V, falls deren Spann gleich ganz V ist, also wenn jeder Vektor aus V im Spann liegt (d.h. sich als Linearkombination von [mm] $v_1,\ldots,v_n$ [/mm] darstellen lässt).
Beispiel (Fortsetzung vom Beispiel aus 2.,3.):
[mm] $v_1=\vektor{0\\1},v_2=\vektor{2\\3},v_3=\vektor{4\\5}$
[/mm]
bilden ein Erzeugendensystem von [mm] $\IR^2$.
[/mm]
5. lineare Unabhängigkeit:
Vektoren [mm] $v_1,\ldots,v_n$ [/mm] bilden, wie in 4. festgestellt, ein Erzeugendensystem von V, falls sich jeder Vektor aus V auf MINDESTENS eine Weise als Linearkombination von [mm] $v_1,\ldots,v_n$ [/mm] darstellen lässt. Die Vektoren sind linear unabhängig genau dann, wenn sich jeder Vektor aus V auf HÖCHSTENS eine Weise als Linearkombination von [mm] $v_1,\ldots,v_n$ [/mm] schreiben lässt.
Als Definition der linearen Unabhängigkeit wählt man üblicherweise eine andere Bedingung, die weniger anschaulich ist, sich aber dafür leichter handeln lässt. Dazu folgende Vorüberlegung: Der Nullvektor [mm] $0_V\in [/mm] V$ lässt sich stets als (sogenannte "triviale") Linearkombination von [mm] $v_1,\ldots,v_n$ [/mm] schreiben:
[mm] $0_V=0\cdot v_1+\ldots+0\cdot v_n$.
[/mm]
[mm] $v_1,\ldots,v_n$ [/mm] heißen nun linear unabhängig, falls dies die einzige Darstellung des Nullvektors als Linearkombination von [mm] $v_1,\ldots,v_n$ [/mm] ist, also falls für jede Linearkombination
[mm] $0_V=\lambda_1\cdot v_1+\ldots+\lambda_n\cdot v_n$
[/mm]
des Nullvektors gilt: Es handelt sich um die triviale Linearkombination des Nullvektors, d.h.
[mm] $\lambda_1=\ldots=\lambda_n=0$.
[/mm]
Mein Lineare-Algebra-Professor hat mal als Merksatz für lineare Unabhängigkeit formuliert:
"Jede Nullkombination ist trivial."
Beispiel (Fortsetzung vom Beispiel aus 2.,3.,4.):
Die Vektoren [mm] $v_1=\vektor{0\\1}$ [/mm] und [mm] $v_2=\vektor{2\\3}$ [/mm] sind linear unabhängig in [mm] $V=\IR^2$.
[/mm]
Beweis: Sei also
[mm] $\lambda_1\cdot\vektor{0\\1}+\lambda_2\cdot\vektor{2\\3}=\vektor{0\\0}$
[/mm]
eine Linearkombination des Nullvektors [mm] ($\lambda_1,\lambda_2\in\IR$).
[/mm]
Dann gilt
[mm] $\vektor{\lambda_1\cdot0+\lambda_2\cdot2\\\lambda_1\cdot1+\lambda_2\cdot3}=\vektor{0\\0}$
[/mm]
Also (erste Komponente) [mm] $\lambda_2\cdot [/mm] 2=0$ und damit [mm] $\lambda_2=0$, [/mm] also (zweite Komponente) [mm] $\lambda_1=0$.
[/mm]
Also war die beliebig vorgegebene Nullkombination trivial, was die lineare Unabhängigkeit von [mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $v_2$ [/mm] beweist.
6. Basis:
Vektoren [mm] $v_1,\ldots,v_n\in [/mm] V$ heißen Basis von V, wenn sie
1. ein Erzeugendensystem von V bilden ("jeder Vektor aus V ist Linearkombination von [mm] $v_1,\ldots,v_n$") [/mm] und
2. linear unabhängig sind ("jeder Vektor aus V lässt sich auf höchstens eine Weise als Linearkombination von [mm] $v_1,\ldots,v_n$ [/mm] darstellen").
D.h. nichts anderes als: Jeder Vektor aus V lässt sich auf eindeutige Weise als Linearkombination von [mm] $v_1,\ldots,v_n$ [/mm] darstellen.
Ich behaupte: Das ist eine tolle Eigenschaft! Warum? Wenn [mm] $v_1,\ldots,v_n$ [/mm] eine Basis bilden, können wir den gesamten Vektorraum V gut verstehen: Er besteht gerade eins zu eins aus den Linearkombinationen von [mm] $v_1,\ldots,v_n$!
[/mm]
Beispiel (Fortsetzung vom Beispiel aus 2.,3.,4.,5.:
[mm] $v_1=\vektor{0\\1}$ [/mm] und [mm] $v_2=\vektor{2\\3}$ [/mm] bilden eine Basis von [mm] $V=\IR^2$.
[/mm]
anderes Beispiel:
Im [mm] $\IR^n$ [/mm] bilden die Vektoren
[mm] $v_1=\vektor{1\\0\\\vdots\\0\\0},\ldots,v_n=\vektor{0\\0\\\vdots\\0\\1}$
[/mm]
eine Basis, die sogenannte Standardbasis.
7. Dimension:
Intuitiv soll der [mm] $\IR^n$ [/mm] als n-dimensional bezeichnet werden, also z.B. der [mm] $\IR^2$ [/mm] (Vektorraum der Punkte der Ebene) als 2-dimensional oder der [mm] $\IR^3$ [/mm] (Vektorraum der Punkte der Raumes) als 3-dimensional.
Allgemeiner soll jedem Vektorraum eine Zahl (oder "unendlich"), seine sogenannte Dimension zugeordnet werden. Diese Zahl ist die Anzahl der Elemente einer (/einer jeden) Basis. Um die Dimension eines Vektorraumes V zu bestimmen, muss man also eine Basis von V finden, und zählen, wie viele Vektoren sie enthält.
Beispiel:
Die Standardbasis (siehe 6.) des [mm] $\IR^n$ [/mm] besteht aus n Vektoren. Also ist die Dimension von [mm] $\IR^n$ [/mm] gerade n, so wie es auch intuitiv sein sollte.
Soweit meine Erklärungsversuche. Ich bitte dich um Feedback, ob sie für dich verständlich/hilfreich waren.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:23 Mo 21.11.2011 | | Autor: | tobias155 |
Hallo, erstmal ein großes großes Danke!!
Muss es mir noch ein paar Mal durchlesen denke ich, aber das wird mir auf jeden Fall weiterhelfen!!
Falls sich noch eine Frage auftut, dann stell ich sie ;)
Nochmals danke!! VG Tobias
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