Matrizen X und Y werden gesucht! < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Fr 13.08.2004 | | Autor: | kai |
Ich hab folgende Aufgabe mit der ich nicht zurechtkomme.
Geg.: A = [mm] \pmat{2 & 1 \\ 3 & 2} [/mm] B = [mm] \pmat{-1 & 1 \\ 0 & -1} [/mm] C = [mm] \pmat{1 & 2 \\ 2 & 0}
[/mm]
sind Bestandteil folgender Gleichungen: 2AX + BY = C und 3AX - 2Y = B
Ich muss jetzt X und Y bestimmen, bin mir nur nicht sicher wie ich das anstellen soll. Mein erster Gedanke war folgender:
Hab die 2. Gleichung nach Y aufgelöst:
3AX -2Y = B [mm] \Rightarrow [/mm] 3AX - B = 2Y [mm] \Rightarrow \bruch{3}{2}AX [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}B [/mm] = Y
Hab sie dann für das Y in der 1. Gleichung eingesetzt:
2AX + B( [mm] \bruch{3}{2}AX [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}B) [/mm] = C
Hab danach mal ein bisschen rumprobiert und versucht das X zu isolieren. Kam dabei aber nicht weiter.
Kann mir dabei jemand behilflich sein?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Fr 13.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Kai!
Ich würde es mal ganz klassisch versuchen:
$2AX + BY = C$ [mm] $\blue{|\, \cdot -3}$
[/mm]
$3AX - 2Y = B$ [mm] $\blue{|\, \cdot 2}$
[/mm]
------------------------------------------------
$-6AX - 3BY = -3C$
$6AX - 4Y = 2B$
-------- Gleichungen addieren ------------
$-6AX - 3BY = -3C$
$(-3B - [mm] 4E_2)Y [/mm] = -3C + 2B$.
Nun ist $-3B - [mm] 4E_2$ [/mm] invertierbar, da [mm] $-\frac{4}{3}$ [/mm] kein Eigenwert von $B$ ist. Es gilt also:
$Y = (-3B - [mm] 4E_2)^{-1} [/mm] (-3C + 2B)$.
Dies können wir nun in
$-6AX - 3BY = -3C$
einsetzen und nach $X$ auflösen (was geht, da $A$ invertierbar ist).
Okay, das war jetzt die Holzhammermethode.... aber so geht es. 
Willst du es mal versuchen?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:43 Fr 13.08.2004 | | Autor: | kai |
Hallo Stefan,
erstmal danke für die Hilfe. Werd das so mal versuchen. Ich geh mal davon aus das Du mit dem E2 die Einheitsmatrix(2,2) meinst. Werd gleich nochmal mitteilen ob das hingehauen hat.
Gruss Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Fr 13.08.2004 | | Autor: | kai |
Hi,
so hab das mal ausgerechnet und hab anscheinend ne Menge Fehler gemacht.
[mm] A^{-1} (-\bruch{1}{6}(-3C+3B((-3B-4E_{2})^{-1}(-3C+2B)))) [/mm] = X
Von dieser Gleichung bin ich ausgegangen. Hoffe nur das ich nicht schon beim Umstellen ein Fehler gemacht habe!
Mein Ergebnis ist: [mm] \pmat{-4 & 15 \\ 8 & -26,5}
[/mm]
Das Prof. Ergebnis ist aber: [mm] \pmat{-22 & -3 \\ 35 & 5}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Sa 14.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo kai,
> so hab das mal ausgerechnet und hab anscheinend ne Menge
> Fehler gemacht.
>
> [mm]A^{-1} (-\bruch{1}{6}(-3C+3B((-3B-4E_{2})^{-1}(-3C+2B))))[/mm] =
> X
>
> Von dieser Gleichung bin ich ausgegangen. Hoffe nur das ich
> nicht schon beim Umstellen ein Fehler gemacht habe!
Nein, ich denke diese Gleichung ist richtig.
> Mein Ergebnis ist: [mm]\pmat{-4 & 15 \\ 8 & -26,5}
[/mm]
> Das Prof.
> Ergebnis ist aber: [mm]\pmat{-22 & -3 \\ 35 & 5}
[/mm]
Mit meiner unten vorgestellten (Steinkeulen-) Methode habe ich auch das zweite Ergebnis (für X) herausbekommen.
Ich denke also, dass du dich beim Auswerten der obigen Matrixgleichung verrechnet hast. Wenn du keine höhere Mathematik anwenden willst (Eigenwert-Überlegungen, Matrix-Invertierung) würde ich vielleicht doch besser meinen Weg gehen...
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 Sa 14.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo kai,
> Geg.: A = [mm]\pmat{2 & 1 \\ 3 & 2}[/mm] B = [mm]\pmat{-1 & 1 \\ 0 & -1}[/mm]
> C = [mm]\pmat{1 & 2 \\ 2 & 0}
[/mm]
>
> sind Bestandteil folgender Gleichungen: 2AX + BY = C und
> 3AX - 2Y = B
>
> Ich muss jetzt X und Y bestimmen, bin mir nur nicht sicher
> wie ich das anstellen soll. Mein erster Gedanke war
> folgender:
Nachdem du ja jetzt die Holzhammer-Methode kennen gelernt hast, hier eine Steinkeulen-Methode:
Schreibe für [mm] X=\pmat{x_{11}&x_{12}\\x_{21}&x_{22}} [/mm] und für [mm] Y=\pmat{y_{11}&y_{12}\\y_{21}&y_{22}}.
[/mm]
Wenn du diese allgemeinen Matrizen nun in deine beiden Matrizengleichungen einsetzt, erhältst du ein Gleichungssystem mit 8 Variablen und 8 Gleichungen.
Eine Methode zwischen Holzhammer und Steinkeule:
Eliminiere zunächst in den Matrizengleichungen das X (auf die gleiche Weise wie Stefan es getan hat).
Setzt du dort --also in $(-3B - [mm] 4E_2)Y [/mm] = -3C + 2B$-- alle Komponenten ein, erhältst du ein Gleichungssystem mit vier Variablen und vier Gleichungen, das ein bisschen besser als das obige zu handhaben ist.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:39 Sa 14.08.2004 | | Autor: | kai |
Hallo marc,
danke für die Hilfe.
Ja das sieht doch eher nach Steinkeule aus. Werd das auf diesem Weg versuchen.
Gruss Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:12 So 15.08.2004 | | Autor: | kai |
Hi marc,
nur zur Info. Hab deinen Weg mal ausprobiert und der hat wunderbar geklappt.
Danke nochmal.
Gruss Kai
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