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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Do 26.03.2009 | | Autor: | Ikit |
| Aufgabe | Für welche p [mm] \in \IR [/mm] hat das LGS Ax = b keine, genau eine, mehrere Lösungen. Man gebe gegebenenfalls sämtliche Lösungen an.
A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & p - 1 & p \\ 2 & 3 - p & 3 }
[/mm]
b = [mm] \vektor{2 \\ 2p - 1 \\ 7}
[/mm]
(Aufgabe aus Merziger S.253) |
Den gegebenen Lösungsweg im Buch kann ich nachvollziehen, allerdings steht bei der Beschreibung, wie man LGS mit Parameter löst, dass man das Gaußsche Eliminationsverfahren wie üblich durchführen solle. Dieses habe ich nun aber so gelernt, dass ich die Matrix zunächst auf eine untere Dreiecksform bringe, und die Lösungen dann ablesen kann. Ich wäre also folgendermaßen vorgegangen:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 2\\ 0 & p - 1 & p & 2p - 1\\ 2 & 3 - p & 3 & 7}
[/mm]
Die untere Zeile addiert mit der oberen Zeile mal -2:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 2\\ 0 & p - 1 & p & 2p - 1\\ 0 & 1 - p & 1 & 3}
[/mm]
Die untere Zeile mit der mittleren addiert:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 2\\ 0 & p - 1 & p & 2p - 1\\ 0 & 0 & 1 + p & 2(p + 1)}
[/mm]
Teile ich die untere Zeile nun durch (1 + p), hab ich die Lösung z = 2. Mit der mittlere Zeile komm ich dann auf y = 1 / 1 - p. Die beiden dann in die obere Zeile und ich komme auf x = 1 / p - 1 (was irgendwie falsch ist).
Ich muss allerdings irgendwie auf eine Fallunterscheidung (es gibt hier 3 Fälle) kommen. Wie komm ich da denn allgemein drauf?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:07 Do 26.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Für welche p [mm]\in \IR[/mm] hat das LGS Ax = b keine, genau eine,
> mehrere Lösungen. Man gebe gegebenenfalls sämtliche
> Lösungen an.
>
> A = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & p - 1 & p \\ 2 & 3 - p & 3 }[/mm]
>
> b = [mm]\vektor{2 \\ 2p - 1 \\ 7}[/mm]
>
> (Aufgabe aus Merziger S.253)
> Den gegebenen Lösungsweg im Buch kann ich nachvollziehen,
> allerdings steht bei der Beschreibung, wie man LGS mit
> Parameter löst, dass man das Gaußsche Eliminationsverfahren
> wie üblich durchführen solle. Dieses habe ich nun aber so
> gelernt, dass ich die Matrix zunächst auf eine untere
> Dreiecksform bringe, und die Lösungen dann ablesen kann.
> Ich wäre also folgendermaßen vorgegangen:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 2\\ 0 & p - 1 & p & 2p - 1\\ 2 & 3 - p & 3 & 7}[/mm]
>
> Die untere Zeile addiert mit der oberen Zeile mal -2:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 2\\ 0 & p - 1 & p & 2p - 1\\ 0 & 1 - p & 1 & 3}[/mm]
>
> Die untere Zeile mit der mittleren addiert:
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 2\\ 0 & p - 1 & p & 2p - 1\\ 0 & 0 & 1 + p & 2(p + 1)}[/mm]
>
> Teile ich die untere Zeile nun durch (1 + p), hab ich die
> Lösung z = 2. Mit der mittlere Zeile komm ich dann auf y =
> 1 / 1 - p. Die beiden dann in die obere Zeile und ich komme
> auf x = 1 / p - 1 (was irgendwie falsch ist).
> Ich muss allerdings irgendwie auf eine Fallunterscheidung
> (es gibt hier 3 Fälle) kommen. Wie komm ich da denn
> allgemein drauf?
Die Frage hast Du Dir eigentlich schon selbst beantwortet !
"Teile ich die untere Zeile nun durch (1 + p)"
Das darfst Du nur, wenn 1+p [mm] \not= [/mm] 0
Also mußt Du die fälle p = -1 und p [mm] \not= [/mm] -1 betrachten.
"Mit der mittlere Zeile komm ich dann auf y = 1 / 1 - p. "
Hier mußt Du die Fälle p=1 und p [mm] \not= [/mm] 1 betrachten
Hilft das ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Ikit |
Ah ja danke das hilft. Also ich muss einfach immer schauen, dass ich nicht durch 0 teile bzw. dass im Nenner keine 0 steht? Und das gleiche gilt dann für negative Wurzeln oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 Fr 27.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> Also ich muss einfach immer schauen, dass ich nicht durch 0 teile bzw. dass
> im Nenner keine 0 steht? Und das gleiche gilt dann für negative Wurzeln oder?
Genau.
Gruß, Robert
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