Matrizen von lin. Abbildungen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:42 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Susan86 |
| Aufgabe | Eine lineare Abbildung [mm] \partial [/mm] : V-->V besitzt in einer Basis e1,e2,e3 die Matrix [mm] \pmat{ 15 & -11 & 5 \\ 20 & -15 & 8 \\ 8 & -7 & 6 }
[/mm]
estimmen Sie die Matrix von [mm] \partial [/mm] in der Basis: e`1=2e1+3e2+e3, e`2= 3e1+4e2+e3, e`3= e1+2e2+2e3 |
Hallo alle zusammen, ich hab schon wieder eine Frage, also mein Problem sind eigentlich allgemein lineare Abbildungen und Matrizen, ich verstehe die Zusammenhänge absolut nicht und in meinem Skrikt stehen nur Definitionen und formeln, die ich absolut nicht verstehe, mit Matrix der linearen bbildung, Basiswechselmatrix, Abbildung mit einer Drehung um den Winkel [mm] \alpha [/mm] usw... Ich bin echt am verzweifeln, im Netz habe ich auch nichts brauchbares gefunden, ich will es unbedingt verstehen aber ic finde keine (für mich) brauchbaren Erklärungen. Wäre echt lieb wenn ihr mir weiterhelfen könntet, denn wir schreiben in einer Woche eine KLausur... (Hilfe!!!)
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Hallo!
Wenn du echt solche Probleme mit Matrizen hast, solltest du dir evtl jemanden suchen, der dir das alles nochmal erklären kann. Eine Woche ist nicht viel, und bei Matrizen kommt es sehr aufs Verständnis an, aus Formeln lernt man da fast nix.
Zuerst mal das generelle.
Du hast hier eine Matrix [mm] A_e [/mm] . Das e steht für die Basis e.
Es gilt
[mm] \vec{b}_e=A_e\vec{a}_e [/mm] , das solltest du bereits kennen. Ein Vektor wird mit der Matrix multipliziert, und ein anderer Vektor kommt raus.
Du willst aber was anderes, du willst das ganze in der Basis e' haben:
[mm] \vec{b}_{e'}=A_{e'}\vec{a}_{e'}
[/mm]
Jetzt kommen die Transformationsmatrizen ins Spiel. Sie können einen Vektor von einer Basisdarstellung in eine andere überführen. Ich schreibe das mal so:
[mm] T_{e\rightarrow e'} [/mm] und [mm] T_{e'\rightarrow e}
[/mm]
Gut, unsere gegebene Matrix [mm] A_e [/mm] frißt nur Vektoren der Basis e, wir wollen aber Vektoren der Basis e' benutzen. Das geht so:
[mm] a_{e}=T_{e'\rightarrow e}*a_{e'}
[/mm]
Wir geben einen e'-Vektor vor, und der wird in einen e-Vektor umgewandelt. Auf diesen können wir die gegebene Matrix loslassen:
[mm] b_e=A_e*a_{e}=A_e*T_{e'\rightarrow e}*a_{e'}
[/mm]
Das ERgebnis ist aber in der Basis e angegeben, wir wollen aber e' . Also nioch eine Transformationsmatrix:
[mm] b_{e'}=T_{e\rightarrow e'}*b_e=T_{e\rightarrow e'}*A_e*a_{e}=\underbrace{T_{e\rightarrow e'}*A_e*T_{e'\rightarrow e}}_{=A_{e'}}*a_{e'}
[/mm]
Schau es dir an, ganz rechts wird jetzt ein Vektor der Basis e' reingesteckt, und es kommt auch ein Vektor in der Basis e' raus!
Die drei Matrizen bilden zusammen die Matrix [mm] A_{e'} [/mm] , also die gesuchte Matrix.
Du benötigst nun die beiden Transformationsmatrizen.
Beachte: Ein Einheitsvektor der neuen Basis e' wäre [mm] \vektor{1\\0\\0}_{e'}. [/mm] Dieser hat in der Basis e die Darstellung [mm] \vektor{2\\3\\1}_e
[/mm]
Damit kennst du die erste Spalte der Transformationsmatrix [mm] T_{e'\rightarrow e} [/mm] :
[mm] \vektor{2\\3\\1}_e=T_{e'\rightarrow e}*\vektor{1\\0\\0}_{e'}
[/mm]
denn:
[mm] \vektor{2\\3\\1}_e=\pmat{2& \star & \star \\ 3 & \star & \star \\ 1 & \star & \star}*\vektor{1\\0\\0}_{e'}
[/mm]
Du siehst, die gegebenen Basisvektoren bilden die Spalten dieser Matrix.
Jetzt brauchst du die ander Transformarionsmatrix [mm] T_{e\rightarrow e'} [/mm] . Diese ist aber die Umkehrmatrix von [mm] T_{e'\rightarrow e} [/mm] , denn diese beiden Abbildungen machen ja genau das umgekehrte voneinander.
[mm] T_{e'\rightarrow e}=(T_{e\rightarrow e'})^{-1}
[/mm]
Das geht so ähnlich wie das Gauss-Verfahren.
Schreibe links die eine Transformationsmatrix hin, und rechts die Einheitsmatrix:
[mm] \pmat{2& \star & \star \\ 3 & \star & \star \\ 1 & \star & \star} \pmat{1& 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
Führe nun in der linken Matrix Additionen und Subtraktionen etc. nach Gauss durch, bis dort die Einheitsmatrix steht. Führe rechts die gleichen Aktionen durch. Am Ende steht rechts die gesuchte Matrix.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:58 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Susan86 |
Wow dankeschön, toll erklärt.
Naja also ich habe nicht direkt Probleme mit Matrizen, die meine ich verstanden zu haben, ir rechnen damit ja auch schon seit geraumer Zeit. Aber letzte Woche haben wir nun noch die Matrizen mit linearen Abbildungen bekommen und da bin ich echt am verzweifeln....
Was ist denn eigentlich das Wichtigste was ih darüber wissen muss bzw anwenden muss? Wie kann ich mir das eigentlcih (bildlich) vorstellen mit der Abbildung einer Matriz, bzw Basiswechsel usw... Manchmal fällt dann eher der Groschen... :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:22 Mi 23.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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