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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:52 Mi 25.08.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | Man gebe Vertreter der Äquivalenzklassen der Matrizen A [mm] \in R^{3x3} [/mm] mit Determinante |det(A)|=72 für die Fälle i) R= [mm] \IZ [/mm] und ii) R= [mm] \IQ [/mm] an
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Hallo zusammen,
hab zu der Aufgabe mal eine Frage.
Also ich weiß ja, dass Matrizen äquivalent sind wenn sie die gleiche Smith-Normalform besitzen. Und das wollte ich hier anwenden.
da |det(A)|=72 gilt ja [mm] d_1 d_2 d_3=72 [/mm] wobei [mm] d_1 [/mm] auf der hauptdiagonale stehen und quasi die determinantenteiler der SNF sind.
weiter gilt [mm] d_1 [/mm] / [mm] d_2 [/mm] / [mm] d_3
[/mm]
sei OE [mm] d_1 [/mm] >0
für i) hätte ich dann folgende matrizen
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 72 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 36 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 24 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 18 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 12 }
[/mm]
geht das schonmal so? und wenn ja gibts da noch mehr?
aber für ii) weiß ich nicht recht welche es da gibt! es sind ja schonmal alle aus i) drin aber wie kriege ich noch weitere heraus
wäre nett wenn mir da jemand helfen könnte! aber danke schonmal!
gruß,
peeetaaa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Mi 25.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Man gebe Vertreter der Äquivalenzklassen der Matrizen A
> [mm]\in R^{3x3}[/mm] mit Determinante |det(A)|=72 für die Fälle i)
> R= [mm]\IZ[/mm] und ii) R= [mm]\IQ[/mm] an
>
> Hallo zusammen,
>
> hab zu der Aufgabe mal eine Frage.
> Also ich weiß ja, dass Matrizen äquivalent sind wenn sie
> die gleiche Smith-Normalform besitzen. Und das wollte ich
> hier anwenden.
>
> da |det(A)|=72 gilt ja [mm]d_1 d_2 d_3=72[/mm] wobei [mm]d_1[/mm] auf der
> hauptdiagonale stehen und quasi die determinantenteiler der
> SNF sind.
> weiter gilt [mm]d_1[/mm] / [mm]d_2[/mm] / [mm]d_3[/mm]
Es ist $72 = [mm] 2^3 \cdot 3^2$.
[/mm]
[mm] $2^3 [/mm] = 1 [mm] \cdot [/mm] 1 [mm] \cdot 2^3 [/mm] = 1 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot 2^2 [/mm] = 2 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 2$
[mm] $3^2 [/mm] = 1 [mm] \cdot [/mm] 1 [mm] \cdot 3^2 [/mm] = 1 [mm] \cdot [/mm] 3 [mm] \cdot [/mm] 3$
Damit gibt es $3 [mm] \cdot [/mm] 2 = 6$ moegiche SNFen.
> sei OE [mm]d_1[/mm] >0
Du meinst eher "OE [mm] $d_i [/mm] > 0$"?
> für i) hätte ich dann folgende matrizen
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 72 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 36 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 24 }[/mm]
Das waren soweit welche.
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 18 }[/mm]
Das ist keine, da 18 nicht durch 4 teilbar ist.
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 12 }[/mm]
Das ist wieder eine.
> geht das schonmal so? und wenn ja gibts da noch mehr?
Es fehlen zwei Exemplare.
> aber für ii) weiß ich nicht recht welche es da gibt! es
> sind ja schonmal alle aus i) drin aber wie kriege ich noch
> weitere heraus
Was fuer eine Normalform habt ihr ueber [mm] $\IQ$? [/mm] Die SNF ist's sicher nicht...
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 Do 26.08.2010 | | Autor: | peeetaaa |
Danke schonmal für die Antwort!
Wusste gar nicht, dass ich so herausbekomme wie viele mögliche SNF es gibt! Aber wie finde ich denn dann die 2 heraus die noch fehlen? muss ich das iwie durch ausprobieren machen oder gibts da einen Trick?
Stimmt die SNF gilt ja nicht für [mm] \IQ [/mm] sondern nur für [mm] \IZ [/mm]
wir hatten sonst noch die Jordan-Normalform aber kann ich damit auch zeigen, dass die Matrizen äquivalent sind oder kann ich noch einen anderen Satz benutzen der mir helfen könnte äquivalente Matrizen über [mm] \IQ [/mm] herauszubekommen?
gruß,
peeetaaa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 Do 26.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke schonmal für die Antwort!
> Wusste gar nicht, dass ich so herausbekomme wie viele
> mögliche SNF es gibt! Aber wie finde ich denn dann die 2
> heraus die noch fehlen? muss ich das iwie durch
> ausprobieren machen oder gibts da einen Trick?
Ja, da gibt es einen Trick.
Es ist ja $72 = [mm] 2^3 \cdot 3^2$.
[/mm]
Schau dir erstmal alle SNF fuer [mm] $2^3$ [/mm] und dann alle fuer [mm] $3^2$ [/mm] an. Dann kannst du aus jeder Kombination $(A, B)$ (mit $A$ einer SNF fuer [mm] $2^3$ [/mm] und $B$ einer fuer [mm] $3^2$) [/mm] genau eine SNF fuer [mm] $2^3 \cdot 3^2$ [/mm] basteln: indem du auf der Diagonale jeweils die Eintraege von $A$ und $B$ beim entsprechenden Diagonalelement multiplizierst. Ist etwa $A = diag(2, 2, 2)$ und $B = diag(1, 1, 9)$, so bekommst du $diag(2, 2, 18)$.
> Stimmt die SNF gilt ja nicht für [mm]\IQ[/mm] sondern nur für [mm]\IZ[/mm]
> wir hatten sonst noch die Jordan-Normalform aber kann ich
> damit auch zeigen, dass die Matrizen äquivalent sind oder
> kann ich noch einen anderen Satz benutzen der mir helfen
> könnte äquivalente Matrizen über [mm]\IQ[/mm] herauszubekommen?
Die Jordan-Normalform hilft dir bei Aequivalenzklassen nicht viel weiter.
Ueber einem Koerper haengt die Aequivalenzklasse nur vom Rang der Matrix ab, und hat als Eintraege nur 0 oder 1.
Was mich an der Aufgabe etwas verwirrt, ist dass diese Normalform keine Determinanten erhaelt. Und in [mm] $\IR^{3 \times 3}$ [/mm] gibt es genau drei Aequivalenzklassen, wovon genau eine alle Matrizen mit [mm] $\det \neq [/mm] 0$ enthaelt -- aber eben nicht nur Matrizen mit [mm] $|\det| [/mm] = 72$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Fr 27.08.2010 | | Autor: | peeetaaa |
Danke für die Antwort. Werde mir den Trick jetzt merken ;)
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