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| Aufgabe | [mm] (A)=\pmat{ 1 & -a & -c \\ 0 & 1 & -b \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
Berechnen Sie Matrizen
a) [mm] -(A)*(A)^{T}
[/mm]
b) (1) + [(A) - [mm] (A)^{T}]^{2}
[/mm]
c) Setzen Sie in der Matrix A die Werte a, b und c gleich, also a = b = c. Welche Werte müssen die Parameter x y, und z in der Matrix
(B) [mm] =\pmat{ x & y & z \\ 0 & x & y \\ 0 & 0 & x}
[/mm]
annehmen, damit (B) die inverse Matrix von (A) ist? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich habe die Aufgabe bekommen, die Matrizen zu berechnen.
Aber bei ich komme nicht ganz klar mit diesen Aufgaben. Habe schon einiges versucht.
Hoffe es kann mir jemand weiter helfen.
Vielen Dank für eure Hilfe !
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wo hängt es denn genau?
fangen wir doch mal bei a) an:
weißt du was [mm] A^{T} [/mm] ist?
das ist die Transponierte Matrix, d.h. Zeilen und Spalten sind vertauscht.
vertausche sie mal und poste dann schritt für schritt deine Matrizenmultipikation
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 So 21.01.2007 | | Autor: | DaniSan22 |
Ist das so richtig?
[mm] (A)^{T}=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ -a & 1 & 0 \\ -c & -b & 1 }
[/mm]
-(A) = [mm] \pmat{ -1 & a & c \\ 0 & -1 & b \\ 0 & 0 & -1}
[/mm]
Wie multipliziere ich jetzt beide Matrizen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 So 21.01.2007 | | Autor: | celeste16 |
formuliere bitte deine nächste Lösung bitte als Frage - dann erkennt man durch die rote markierung dass es "weiter geht".
beide Matrizen sind richtig, obwohl ich persönlich das "-" noch draußen gelassen hätte.
Matrizenmultiplikation funktioniert folgendermaßen:
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d }*\pmat{ e & f \\ g & h } [/mm] = [mm] \pmat{ ae + bg & af + bh \\ ce + dg & cf + dh }
[/mm]
es kommt also eine 2x2 Matrix raus, bei (3x3)(3x3) kommt eine 3x3 Matrix raus (also bei dir).
Die musst immer erst die 1. zeile mit der 1. spalte, dann die erste zeile mit der 2. Spalte, dann 1. und 3 rechen - diese 3 Werte ergeben deine "neue" erste Zeile. Dann die 2. zeile mit der 1. spalte, die 2. mit 2., 2. mit 3. und so erhälst du deine 2. Zeile und mit der 3. Zeile funktioniert das ganz genauso.
Versuchs mal. wenn du nicht weiterkommst poste mal deine schritte, dann gucken wir mal
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Also lautet das Ergebnis der ersten Zeile: [mm] -ac^{2}
[/mm]
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das Ergebnis der 1. Zeile kann das auf keinen Fall sein, denn du musst wieder ein 3x3 Matrix rausbekommen, hier hast du aber nur 1 Eintrag.
Wichtig ist auch bei Matrizenmultiplikation: AB [mm] \not= [/mm] BA !!!!
D.h: wenn du [mm] AA^{T} [/mm] berechnen sollst darfst du nicht [mm] A^{T}*A [/mm] rechen (wollt's nur mal zur sicherheit sagen).
Nun zur 1. Zeile:
du rechnest:
(-1)(1) (1. Eintrag 1. Zeile mal 1. Eintrag 1.Zeile) + a(-a) (2. Eintrag 1.Zeile mal 1.Eintrag 2. Zeile) + c(-c) (3. Eintrag 1. Zeile mal 1.Eintrag 3. Zeile) = -1-a²-c²
das ist der Eintrag in der 1.Zeile/1. Spalte
(-1)*0(1. Eintrag 1. Zeile mal 2. Eintrag 1.Zeile) + 1a(-a) (2. Eintrag 1.Zeile mal 2.Eintrag 2. Zeile) + c(-b)(3. Eintrag 1. Zeile mal 2.Eintrag 3. Zeile) = a-bc
das ist der Eintrag in der 1.Zeile/2. Spalte
(-1)*0 + 0a + 1c = c
also sieht die 1. ZEILE deiner neuen Matrix so aus: (-1-a²-c² a-bc c)
das machst du jetzt genauso mit der 2. Zeile der 1. Matrix (du multiplizierst sie mit jeder Spalte der 2. Matrix) und erhälst so die 2. Zeile deiner neuen Matrix. Danach das Gleiche mit der 3. Zeile
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Also lautet das Ergebnis?
a) [mm] =\pmat{(1-a^{2} -c^{2}) & (a-bc) & c \\ (a-bc) & (-1-b^{2}) & b \\ c & b & -1}
[/mm]
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Ich versuch mal die b)
(1) ist eine Einheitsmatrix, also [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
(A) - [mm] (A)^{T} =\pmat{ 0 & -a & -c \\ a & 0 & -b\\ -c & -b & o}
[/mm]
Das Ergebnis zum Quadrat
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Ist das richtig?
b) = [mm] \pmat{ (1-a^{2} + c^{2}) & 0 & 0 \\ 0 & (1- a ^{2} + b^{2}) & 0 \\ 0 & 0 & (1+c^{2} + b^{2})}
[/mm]
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die Einträge auf der Hauptdiagonalen habe ich auch, aber warum sind all deine anderen Einträge 0??
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ja, hab ich auch, - poste dass nur um den roten status wegzubekommen
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Jetzt fehlt mir nur noch c)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:13 So 21.01.2007 | | Autor: | DaniSan22 |
Die Werte gleichsetzen? Versteh ich nicht?
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deine b) war falsch.
die musst du noch mal machen bzw. posten
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b) (1) [mm] +[(A)-(A)^{T}]^{2}
[/mm]
(1) = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
(A) - [mm] (A)^{T} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & -a & -c \\ 0 & 1 & -b \\ 0 & 0 & 1}- \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ -a & 1 & 0 \\ -c & -b & 1} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & -a & -c \\ a & 0 & -b \\ c & b & 0 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & -a & -c \\ a & 0 & -b \\ c & b & 0 }^{2} [/mm] = [mm] \pmat{ -a^{2} -c^{2} & -bc & ab \\ -bc & -a^{2} -b^{2} & -ac \\ ab & -ac & -b^{2} -c^{2}}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] + [mm] \pmat{ -a^{2} -c^{2} & -bc & ab \\ -bc & -a^{2} -b^{2} & -ac \\ ab & -ac & -b^{2} -c^{2}} [/mm] = [mm] \pmat{ 1-a^{2} -c^{2} & -bc & ab \\ -bc & 1-a^{2} -b^{2} & -ac \\ ab & -ac & 1-b^{2} -c^{2}}
[/mm]
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Schönen guten Tag.
Wollt fragen, ob ich das so richtig gerechnet habe.
Vielen Dank im Vorraus.
b) (1) [mm] +[(A)-(A)^{T}]^{2}
[/mm]
(1) = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
(A) - [mm] (A)^{T} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & -a & -c \\ 0 & 1 & -b \\ 0 & 0 & 1}- \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ -a & 1 & 0 \\ -c & -b & 1} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & -a & -c \\ a & 0 & -b \\ c & b & 0 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & -a & -c \\ a & 0 & -b \\ c & b & 0 }^{2} [/mm] = [mm] \pmat{ -a^{2} -c^{2} & -bc & ab \\ -bc & -a^{2} -b^{2} & -ac \\ ab & -ac & -b^{2} -c^{2}}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] + [mm] \pmat{ -a^{2} -c^{2} & -bc & ab \\ -bc & -a^{2} -b^{2} & -ac \\ ab & -ac & -b^{2} -c^{2}} [/mm] = [mm] \pmat{ 1-a^{2} -c^{2} & -bc & ab \\ -bc & 1-a^{2} -b^{2} & -ac \\ ab & -ac & 1-b^{2} -c^{2}}
[/mm]
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das hab ich nicht raus, wertemäßig ja, aber mit deinen Vorzeichen stimmt was nicht.
das leigt aber daran dass du eine A - [mm] A^{T} [/mm] falsch berechnet hast. oben irgendwo hast du schonmal die Differenz gepostet, die war richtig. die musst du quadrieren
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Was bekommst du denn raus, bei der Rechnung (A) - [mm] (A)^{T}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:19 Mo 22.01.2007 | | Autor: | DaniSan22 |
Das Ergebnis hab ich ja quadriert.
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okay, deine [mm] A-A^{T} [/mm] ist hier
[mm] \pmat{ 0 & -a & -c \\ a & 0 & -b \\ c & b & 0 }
[/mm]
oben hast du aber schonmal
[mm] \pmat{ 0 & -a & -c \\ a & 0 & -b \\ -c & -b & 0 }
[/mm]
rausbekommen.
Das habe ich auch raus. durch diesen vorzeichenfehler hast du auch deine Fehler in deiner neuen Matrix.
Dreh einfach an den entsprechenden stellen die Vorzeichen um
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Ist nicht 0-(-c)=c und 0-(-b) =b? Ich weiss nicht, wie ich das oben rausbekommen hab?
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ja, du hast völlig recht.
tut mir wirklich leid, ich hab mich da völlig verrechnet.
Deine Matrix und auch das Endergebnis ist völlig richtig.
Wie gesagt: sorry nochmal
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Ich muss mich bedanken!
Bis dann!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 Mo 22.01.2007 | | Autor: | DaniSan22 |
Ach ja, mir fehlt noch Aufgabe c)
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Ich soll in der Matrix (A) die Werte a, b und c gleichsetzen. Es sind doch alle gleich oder nicht?
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also, ich versuche es noch einmal, aber aufgrund meines verrechners vorhin würde ich meinen antworten nicht unbedingt trauen 
B soll die inverse Matrix von A sein. D.h. du beschäftigst dich jetzt erst mal gar nicht mehr mit der Matrix B an sich, sondern nur mit der Inversen:
da a=b=c sieht dein neues A so aus:
[mm] A=\pmat{ 1 & -a & -a \\ 0 & 1 & -a \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
um die Inverse Matrix von A (also [mm] A^{-1}) [/mm] zu erhalten gilt folgende Regel:
Matrix*Inverse Matrix = Einheitsmatrix:
[mm] \pmat{ d & e & f \\ g & h & i \\ j & k & l }*\pmat{ 1 & -a & -a \\ 0 & 1 & -a \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
du führst jetzt deine Matrizenmultiplikation durch und erhälst ein Gleichungssystem was du nur löst:
z.B. für die 1. Zeile:
I 1d + 0e + 0f = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] d=1
II -ad + 1e + 0f = 0 = -1a + e [mm] \Rightarrow [/mm] e = a
III -a - [mm] a^{2} [/mm] + f = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] f = [mm] a^{2} [/mm] + a
wenn du das für jede Zeile gemacht hast, hast du deine werte, vergleichst sie mit der Matrix B und kannst so erkennen was die für Werte haben muss
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:32 Mo 22.01.2007 | | Autor: | DaniSan22 |
Ich glaube dir
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mi 24.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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