Matrizenbestimmung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei A eine (n×n)-Matrix, deren Einträge alles ganze Zahlen sind.
Zeigen Sie: Es gibt genau dann eine (n×n)-Matrix B, deren
Einträge ebenfalls nur ganze Zahlen sind mit A · B = [mm] E_{3}, [/mm] wenn
gilt detA ∈ {1,−1}. |
Mir ist eigentlich nur klar, dass der Eintrag [mm] a_{11} [/mm] der Matrix A gleich 1 sein muss, da sich dieser Wert nicht mehr ändert und das die Matrix A eine 3x3 matrix sein muss, da die Einheitsmatrix eine ist.
Wie soll ich nun die anderen Einträge von a ermitteln, so dass sie immer ganzzahlig sind, um die Matrix B zu bestimmen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Sei A eine (n×n)-Matrix, deren Einträge alles ganze Zahlen
> sind.
> Zeigen Sie: Es gibt genau dann eine (n×n)-Matrix B, deren
> Einträge ebenfalls nur ganze Zahlen sind mit A · B =
> [mm]E_{3},[/mm] wenn
> gilt detA ∈ {1,−1}.
> Mir ist eigentlich nur klar, dass der Eintrag [mm]a_{11}[/mm] der
> Matrix A gleich 1 sein muss, da sich dieser Wert nicht mehr
> ändert und das die Matrix A eine 3x3 matrix sein muss, da
> die Einheitsmatrix eine ist.
> Wie soll ich nun die anderen Einträge von a ermitteln, so
> dass sie immer ganzzahlig sind, um die Matrix B zu
> bestimmen?
Hallo,
zunächst mal ist festzustellen, daß hier zwei Richtungen zu beweisen sind.
1. es gibt eine ganzzahlige Matrix B mit AB=E ==> det [mm] A\in\{1,-1}
[/mm]
Dies zu beweisen ist nicht schwer. Du weißt etwas über die determinante von Produkten, Du weißt daß A und B und somit auch ihre determinanten ganzzahlig sind.
2. det A [mm] \in\{1,-1} [/mm] ==> es gibt eine ganzzahlige Matrix B mit AB=E
Damit weiß man schonmal, daß A invertierbar ist. Nun mußt Du Dich erinnern oder nachschlagen, wie Du die Inverse einer Matrix mithilfe von Determinante und ??? aus der Matrix erhältst.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
