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(Frage) überfällig  | | Datum: | 04:32 So 10.05.2009 | | Autor: | Bob1982 |
| Aufgabe | a) Sei A eine n x n Matrix über R mit rang(A)=m
z.z.: Es gibt n x m Matrizen X,Y über R, so dass [mm]A=XY^T[/mm] gilt
b) Seien X,Y nun n x m Matrizen über R mit [mm]n \geq m[/mm] und A eine reguläre n x n Matrix über R
z.z.: [mm]A+XY^T[/mm] regulär <=> [mm]I+Y^TA^{-1}X[/mm] regulär
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Meine Gedanken zu Aufgaben:
zu a)
Damit es überhaupt erst möglich ist, dass A auch den Rang m hat muss [mm]n \geq m[/mm] gelten, da für n<m die n x n Matrix A ja nachher keinen Rang haben kann, der größer als ihre Breite ist.
Für n=m ist die Sache klar, denn dann hat A vollen Rang, ist invertierbar mit det(A) ungleich null und X und Y müssen demnach auch regulär sein.
Die Frage ist nun warum auch für n>m immer eine solche Zerlegung existieren MUSS.
Invertierbar wird die quadratische Matrix A ja dann auch nicht sein da ja kein voller Rang mehr vorliegt.
Wie könnte ich da ansetzen ?
b)
Wenn 2 Matrizen A und B regulär sind, dann ist auch AB regulär wegen det(AB)=det(A)*det(B) da det (A), det(B) ungleich null
Damit wäre [mm]A^{-1}(A+XY^T)=I+A^{-1}XY^T[/mm] auch regulär.
Wie könnte es weiter gehen ?
Gruß Björn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:21 Di 12.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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