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Matrizengleichung: Gleichungsystem
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:16 Fr 02.02.2018
Autor: b.reis

Aufgabe
Gegeben eine Markovkette mit Übergangsmatrix


[mm] P=\pmat{ 1/2 & 1/6 & 1/6 &1/6 \\ 1/6 & 1/6 & 1/2 &1/6 \\ 1/6 & 1/6 & 1/6 &1/2 \\ 1/6 & 1/2 & 1/6 &1/6 } [/mm]

Berechnen Sie die Stationäre Verteilung

hallo

Die Stationäre Verteilung ist die Lösung des Gleichungssysten, so das die Summe der Lösungen 1 ergibt.

p1=1/2 p1  1/6 p2  1/6 p3 1/6 p4

P2= 1/6 p1  1/6 p2  1/2 p3 1/6 p4

P3=1/6 p1  1/6 p2  1/6 p3 1/2 p4

P4=1/6 p1 1/2 p2  1/6 p3 1/6 p4

Ein Gleichungsystem mit 4 Unbekannten und das lässt sich auch mit A*x=b lösen.

Ich habe aber keine Ahnung, da ich lineare Algebra noch nicht belegt habe.

Wenn mir das jemand Schritt für Schritt erklären könnte wäre das super.

Danke

Benni

        
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Matrizengleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:42 Fr 02.02.2018
Autor: Fulla


> Die Stationäre Verteilung ist die Lösung des
> Gleichungssysten, so das die Summe der Lösungen 1 ergibt.

>

> p1=1/2 p1 1/6 p2 1/6 p3 1/6 p4

>

> P2= 1/6 p1 1/6 p2 1/2 p3 1/6 p4

>

> P3=1/6 p1 1/6 p2 1/6 p3 1/2 p4

>

> P4=1/6 p1 1/2 p2 1/6 p3 1/6 p4

Hallo Benni,

das System kannst du auch ohne Lineare Algebra lösen.
Zunächst würde ich alle Gleichungen mal mit 6 multiplizieren und gleichnamige Variablen zusammenfassen.

Danach kannst du z.B. das Einsetzverfahren anwenden: Löse etwa die erste Gleichung nach [mm] $p_2$ [/mm] auf und setze dies in die zweite Gleichung ein. Löse diese dann nach einer andere Variable auf und setze in die nächste ein, etc.

Lieben Grüß,
Fulla

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Matrizengleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:52 So 04.02.2018
Autor: b.reis

Hallo

Ich weiß nicht wie ich das Gleichungssystem mit 4 Unbekannten lösen soll,

Meine Gleichungen sehen so aus

1.  b=3a-c-d
2.  d=5b-a-3c
3.  a=5c-g-3d
4.  c=5d-a-3d

Wenn ich 3 in 4 einsetze weis ich schon gar nicht nach was für einer Variable ich auflösen soll und wo ich diese dann einsetzen soll in 1 oder in 2.

Es sollte sich ja vereinfachen aber wenn ich 4 nach c auflösen in die Gleichung  2 dann die gleichung 3 einsetzte für a, und für c die Gleichung 4 dann wird das Ding riesig und extrem kompliziert mit den Brüchen.

Zwar habe ich dann am Ende nur nach b=2 1/5 d und dann muss ich alle 3 Gleichungen für jede Variable in 1 einsetzen um nach b aufzulösen das wird ja endlos.


Irgendwas mache ich falsch.

Wie man effektiv ein Gleichungssystem mit 4 Variablen und dem Einsetzverfahrenlöst weis ich nicht.

Wenn mir jemand helfen könnte wäre nett.

Danke
Benni

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Matrizengleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:43 So 04.02.2018
Autor: chrisno

6 p1 = 3 p1 +   p2  +  p3 +   p4

6 p2 =   p1 +   p2 + 3 p3 +   p4

6 p3 =   p1  +  p2 +   p3 + 3 p4

6 p4 =   p1 + 3 p2 +   p3 +   p4

Die erste Gleichung nach p4 aufgelöst ergibt
p4 = 3 p1 - p2 - p3

Damit wird die zweite Gleichung zu
6 p2 =   p1 +   p2 + 3 p3 + (3 p1 - p2 - p3)

Genau so kannst Du auch in den nächsten beiden Gleichungen p4 los werden.

Räum dann auf und schaue, wie das Gleichungssystem mit nur noch drei Gleichungen dann aussieht.
Dann nimmst Du Dir die nächste Variabel vor.


Nachtrag: nun habe ich das durchgerechnet. Am Ende wird das Ganze total einfach, so dass man merkt, dass man eigentlich die Lösung hätte mit hinsehen finden können. Dann brauchst Du noch, dass die Summe 1 ergeben soll.

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Matrizengleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:26 So 04.02.2018
Autor: b.reis

hallo

also p1=a p2=b p3=c p4=d

Meine 3 Gleichungen sehen dann so aus

6b=4a-2c

8c=10a-2b

14a=8b+6c

Dann habe ich die zweite Gleichung nach c aufgelöst und

c=5/4a-1/4b

Das habe ich eingesetzt

6b=4a-2(5/4a-1/4b)  =  6b=4a-10/4a+2/4b

14a=-4b-6(5/4a-1/4b)  =  14a=-4b-30/4a+6/4b

Dann

b=3/11a

Kann das Stimmen ?
Und wo setzte ich am schlausten b nun ein ?
Danke

benni


  

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Matrizengleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:44 Mo 05.02.2018
Autor: chrisno


> hallo
>  
> also p1=a p2=b p3=c p4=d
>  
> Meine 3 Gleichungen sehen dann so aus
>  
> 6b=4a-2c

[notok]
6 p2 =   p1 +   p2 + 3 p3 + (3 p1 - p2 - p3) = 4 p1 + 2 p3

Rechne nach, wie gesagt ist das Ergebnis sehr einfach.

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Matrizengleichung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:15 Mo 05.02.2018
Autor: b.reis

Hallo

Also ich hatte irgendwas falsch abgeschrieben, habe aber dann den Fehler in der zweiten Gleichung vermutet.

Jetzt komme ich auf

8(3b-2a)=10a-2b

26b=26a

b=a


Dann setze ich b in de Gleichung die ich nach c aufgelöst habe also in die erste (Korrigierte) und c=3a-2a

c=a.

Weiter
in die letzte Gleichung des ersten Blocks a=b=c

6d=a+3a+a+d
5d=5a
a=d

So, jetzt habe ich mir gedacht, wenn alle Variablen gleich sind, könnte ich dann nicht einfach alle zuerst gleichsetzen und dann einsetzen und die Stationäre Verteilung zu bestimmen ?

Denn ich brauche das für eine Prüfung morgen und wenn ich tagelang rechnen muss gehts bestimmt nicht gut.

Was das sehen der Stationären Verteilung betrifft
kann ich zumindest in der Anfangsmatrix sagen, dass alle Variablen gleich aufgebaut sind aus den selben Kofaktoren, 3, 1,1,1

Dann weiß ich noch, dass es 16 Übergangswahrscheinlichkeiten gibt wobei die für jede Variable gleich verteilt sind, also hat jede Variable 4/16 Übergänge und somit ist die Stationäre Verteilung p(1/4, 1/4, 1/4, 1/4)

Mich stört aber die Tatsache, dass in der ersten Gleichung für a gleich a=3a und damit is die Verteilung der Koeffizienten ungleichmässig, was aber bei der Stationären Verteilung keine Rolle spielt, denn es geht nur um mögliche Übergange und nicht im die Wahrscheinlichkeit. Die ist hier nur Mittel zum Zweck um an die einzelnen Variablen zu kommen. Kann das stimmen?

Ein anderes Beispiel habe ich noch

[mm] P=\pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 } [/mm]

Hier ist die Stationäre Verteilung p(1/2, 1/4, 1/4)

Also wenn ich mir die Matrix anschaue, sehe ich, dass die Übergänge ungleich verteilt sind insgesamt gibt es 4 Übergänge 2 davon für a und jeweils einer für b und c

Somit gilt für a=1/2 da a die hälfte aller Übergänge hat und die anderen mit jeweils einem Übergang haben 1/4.

Kann das so stimmen ?

Wenn ich das auf ein Gleichungssystem übertrage
a=1/2a+1/2b
b=c
c=a

und dieses auflöse komme ich auf a=b=c und dann wäre die Stationäre Verteilung 1/3 für a,b,c Was aber nicht der Fall ist.

Wenn b=c und c=a dann kann ich doch nur die einsetzen und a=b=c.

Nachtrag( also scheinbar muss für die Stationäre Verteilung a=1/2a+c gelten also das Gleichungssystem stellt sich nicht pro Zeile auf sondern pro Spalte der Matrix. )


Vielen Dank

Benni


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Matrizengleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:32 Mo 05.02.2018
Autor: chrisno

Ich bin nicht so in dem Thema, dass ich nun sicher antworten kann.
Wenn die Umverteilung zwischen den Variablen für alle in Endeffekt gleich ist,
dann sind die Variablen im stationären Fall auch gleich vertreten.
Das ist so bei der 4 x 4 Matrix

Für die 3 x 3 Matrix ist meiner Meinung nach der stationäre Fall falsch angegeben und von Dir mit der Gleichverteilung richtig berechnet. Ich kenne eigentlich nur die Konvention Zeile mal Spalte zum berechnen.

Bezug
                                                
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Matrizengleichung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Mi 07.02.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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