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Forum "Abbildungen und Matrizen" - Matrizengleichung lösen
Matrizengleichung lösen < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Matrizengleichung lösen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:19 So 30.03.2014
Autor: LadyVal

Aufgabe
Bestimmen Sie X:
[mm] (A_{2} [/mm] * [mm] X^{-1})^{-1} [/mm] - B = 0

Meine Bearbeitung:

[mm] (A_{2} [/mm] * [mm] X^{-1})^{-1} [/mm] = B

[mm] (A_{2} [/mm] * [mm] X^{-1}) [/mm] * [mm] (A_{2} [/mm] * [mm] X^{-1})^{-1} [/mm] = [mm] (A_{2} [/mm] * [mm] X^{-1}) [/mm] * B

E = [mm] (A_{2} [/mm] * [mm] X^{-1}) [/mm] * B

[mm] A_{2}^{-1} [/mm] = [mm] A_{2}^{-1} [/mm] * [mm] A_{2} [/mm] * [mm] X^{-1} [/mm] * B

[mm] A_{2}^{-1} [/mm] = E * [mm] X^{-1} [/mm] * B

X * [mm] A_{2}^{-1} [/mm] = X * [mm] X^{-1} [/mm] * B

X * [mm] A_{2}^{-1} [/mm] * [mm] A_{2} [/mm] =  B  [mm] *A_{2} [/mm]

X = B  [mm] *A_{2} [/mm]

Schönen guten Abend,
ist meine obige Bearbeitung korrekt? würde mich über eine kurze Antwort freuen:)
LG  Val



        
Bezug
Matrizengleichung lösen: Voraussetzungen ?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:55 So 30.03.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> Bestimmen Sie X:
>  [mm](A_{2}[/mm] * [mm]X^{-1})^{-1}[/mm] - B = 0
>  Meine Bearbeitung:
>  
> [mm](A_{2}[/mm] * [mm]X^{-1})^{-1}[/mm] = B
>  
> [mm](A_{2}[/mm] * [mm]X^{-1})[/mm] * [mm](A_{2}[/mm] * [mm]X^{-1})^{-1}[/mm] = [mm](A_{2}[/mm] * [mm]X^{-1})[/mm]
> * B
>  
> E = [mm](A_{2}[/mm] * [mm]X^{-1})[/mm] * B
>  
> [mm]A_{2}^{-1}[/mm] = [mm]A_{2}^{-1}[/mm] * [mm]A_{2}[/mm] * [mm]X^{-1}[/mm] * B
>  
> [mm]A_{2}^{-1}[/mm] = E * [mm]X^{-1}[/mm] * B
>
> X * [mm]A_{2}^{-1}[/mm] = X * [mm]X^{-1}[/mm] * B
>  
> X * [mm]A_{2}^{-1}[/mm] * [mm]A_{2}[/mm] =  B  [mm]*A_{2}[/mm]
>  
> X = B  [mm]*A_{2}[/mm]
>  
> Schönen guten Abend,
> ist meine obige Bearbeitung korrekt? würde mich über eine
> kurze Antwort freuen:)
>  LG  Val


Guten Abend LadyVal

Die Lösung ist richtig, falls man noch die zu einer
(eindeutigen) Lösung erforderlichen Voraussetzungen
angibt.

Es wäre aber auch ein deutlich kürzerer Lösungsweg
möglich.
Nebensächliche Bemerkung: ich verstehe nicht ganz,
weshalb du in einer solchen Rechnung den dafür
absolut unerheblichen Index 2 bei der Matrix A mit-
schleppst. Schreibe doch einfach A anstatt [mm] A_2 [/mm] .

Frage also noch: welche Voraussetzungen sollten für
die Matrizen A und B gemacht werden, damit die Lösung
klappt ?
Gäbe es z.B. auch Matrizen A und B, für welche die
Gleichung keine oder mehr als eine Lösungsmatrix X
hat ?

LG ,   Al-Chwarizmi




Bezug
                
Bezug
Matrizengleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:59 So 30.03.2014
Autor: LadyVal

Hey, danke für Deine zügige Antwort.
Den Index 2 habe ich einfach nur mitgeschleppt, weil die ursprl. Gleichung ihn hatte...

zu den Voraussetzungen: in jedem Fall muss es eine Inverse zu [mm] A_{2} [/mm] geben, oder?
Ich habe aber keine Ahnung, was gelten muss, damit es mehrere Lösungsmatrizen X gibt :(

LG Val

Bezug
                        
Bezug
Matrizengleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:34 So 30.03.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> Hey, danke für Deine zügige Antwort.
> Den Index 2 habe ich einfach nur mitgeschleppt, weil die
> ursprl. Gleichung ihn hatte...
>
> zu den Voraussetzungen: in jedem Fall muss es eine Inverse
> zu [mm]A_{2}[/mm] geben, oder?
>  Ich habe aber keine Ahnung, was gelten muss, damit es
> mehrere Lösungsmatrizen X gibt :(
>  
> LG Val


Hallo,

man kann durch schrittweise Argumentation sogar schließen,
dass die vorgegebene Gleichung nur gelten kann, wenn alle
3 Matrizen (also A, B und X) invertierbar sind. Natürlich kann
man auch Aussagen über die Formate (Zeilen- und Spalten-
zahl) der Matrizen machen.
Falls diese notwendigen Voraussetzungen erfüllt sind, kann
man weiter schließen, dass dann die Matrix X auch eindeutig
bestimmt ist. Den Fall mehrerer Lösungen gibt es also nicht.
Ich dachte nur, es sei als Anregung nützlich, solche Möglich-
keiten wenigstens zu bedenken. Natürlich solltest du nun alle
erforderlichen Überlegungen noch klar (d.h. logisch
konsequent) darstellen.

LG und   [gutenacht]

Al-Chw.


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