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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Di 15.05.2007 | | Autor: | becks86 |
Ich benötige Hilfe bei einer Matrizenmultiplikation:
für die erste Matrix sei A [mm] \in R^{m x n} [/mm] und B [mm] \in R^{n x m}
[/mm]
weiterhin sei die Multiplikation der Matrizen A*B = 0.
der Rang der Matrix A ist rang(A)= n. Gefragt ist nun wie die Matrix B geartet sein darf so dass die Gleichung gültig ist. Ich dachte mir nun, da es ja keine freien Variablen gibt, dass die Matrix B nur Nullen enthalten darf. Jedoch ist dies offensichtlich falsch bzw. nicht hinreichend. Was ist an meinen Überlegungen falsch? Wie darf die Matrix noch aussehen, damit A*B= 0 dennoch zutrifft?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.emath.de/Mathe-Board/messages/8/25868.html?1179242605
Danke schonmal im Voraus
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Es gilt m [mm] \ge [/mm] n (warum?). Dann ist dim(Kern(A)) [mm] \ge [/mm] 0 (warum?). B bildet den [mm] \IR^m [/mm] auf den [mm] \IR^n [/mm] ab und zwar direkt in den Kern(A) (warum?). Wenn jetzt dim(Kern(A)) > 0, dann kann B auch eine andere Form als nur die Nullmatrix annehmen, denn Kern(A)=Bild(B) (s.o.).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Mi 16.05.2007 | | Autor: | becks86 |
wieso sollte die Matrix B bei dim(Kern(A)) > 0 andere werte ausser 0 annehmen können, ich verstehe die argumentation nicht. Die Antwort ist mir ehrlich gesagt auch zu hoch um daraus irgendwelchen Nutzen zu ziehen. Kannst du vielleicht noch einmal genau ausformulieren was du damit meintest?
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> wieso sollte die Matrix B bei dim(Kern(A)) > 0 andere
> werte ausser 0 annehmen können, ich verstehe die
> argumentation nicht.
Hallo,
weißt Du denn, was Kern und Bild einer Matrix sind?
> Die Antwort ist mir ehrlich gesagt
> auch zu hoch um daraus irgendwelchen Nutzen zu ziehen.
Leider wissen wir nicht, wie Dein mathematischer Hintergrund ist.
Das, was generation...x Dir gesagt hat, ist mit den Kenntnissen, die man im 1.Semester erwirbt, zu verstehen.
Da Du im Hochschulforum gepostet hast, versuche ich nochmal, seinen Gedanken aufzugreifen.
Es soll gelten AB=0.
Das bedeutet: für alle [mm] x\in \IR^m [/mm] gilt:
ABx=0x=0.
Anders geschrieben:
A(Bild B)=0.
Was bedeutet das für den Kern von A?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 Do 17.05.2007 | | Autor: | becks86 |
Den Kern bilden doch die Vektoren die die Matrix auf 0 Abbilden. Das Bild sind soweit ich weiß dann die Vektoren die die Matrix nicht auf 0 Abbilden.
Ich hoffe das ist soweit korrekt. Wie berechne ich denn nun das Bild von B welches die Matrix auf 0 Abbildet bzw. es würde mir schon helfen wenn ich wüsste welche Bedingungen hierbei an die Matrix A gestellt werden.
Zu meinem mathematischen Hintergrund ist zu sagen, dass ich im 2. Semester Elektrotechnik studiere.
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> Den Kern bilden doch die Vektoren die die Matrix auf 0
> Abbilden.
Hallo,
fast richtig - und doch voll daneben...
Wir müssen ein bißchen aufräumen:
nicht die Vektoren bilden die Matrix auf irgendwas ab, sondern
die Matrix (bzw. die Abb, die durch sie dargestellt wird) bildet die Vektoren auf etwas ab, nämlich auf andere Vektoren.
Also: der Kern ist die Menge der Vektoren, die von der Matrix auf die Null (Nullvektor) abgebildet werden.
Vermutlich meintest Du das auch.
> Das Bild sind soweit ich weiß dann die Vektoren
> die die Matrix nicht auf 0 Abbilden.
Nein.
Das Bild einer Matrix B sind diejenigen Vektoren, auf die durch Anwenden von B ein Element abgebildet wird, die Elemnte der Zielmenge, die durch die Abbildung "erwischt" werden.
Ich wiederhole nun,was ich im vorhergeheden Post schrieb:
"Es soll gelten AB=0.
Das bedeutet: für alle $ [mm] x\in \IR^m [/mm] $ gilt:
ABx=0x=0.
Anders geschrieben:
A(Bild B)=0.
Was bedeutet das für den Kern von A?"
Ich hoffe, daß Du bis A(Bild B)=0 folgen konntest.
A ist ja irgendeine ganz beliebige Matrix [mm] \in R^{m x n}.
[/mm]
Die Frage der Aufgabe ist die Frage nach Eigenschaften von B.
Bild B ist ja eine Teilmenge von [mm] \IR^m, [/mm] mach Dir das unbedingt klar.
Diese Teilmenge von [mm] \IR^m [/mm] wird durch A auf die Null abgebildet.
Wie heißt die Menge, die von A auf die Null abgebildet wird? Bild B ist ein Teil davon.
Zweierlei:
1. Großartig ausrechnen kannst Du bei dieser Aufgabe gar nichts. Es geht einfach um Eigenschaften von B.
Wenn man eine Matrix A hat, will man wissen, mit welchen Eigenschaften von B AB=0 klappt.
2. Ich habe das Gefühl, daß Dir der Zusammenhang zwischen Matrizen und linearen Abbildungen nicht richtig klar ist, diesbezüglich solltest Du Dich unbedingt schlau machen.
> Zu meinem mathematischen Hintergrund ist zu sagen, dass ich
> im 2. Semester Elektrotechnik studiere.
Ich habe gesehen, daß Du das jetzt in Deinem Profil eingetragen hast, manchmal kann das für Antwortende wirklich hilfreich sein.
Gruß v. Angela
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