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| Aufgabe | Sei [mm] \pmat{0 & 1 & -1 \\1 & 1 & 0\\1 & 0 &-1} \in \IR^{3x3}. [/mm]
Bestimmen Sie die Normen [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel_1, \parallel [/mm] A [mm] \parallel_2 [/mm] und [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel_\infty [/mm] |
Hallo,
ich habe folgende Lösung. Insbesondere ob die Herangehensweise für [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel_2 [/mm] stimmt, würde mich interessieren.
max. Spaltensummennorm: [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel_1 [/mm] = max{|1|+|-1|,|1|+|1|,|1|+|-1|}=2
max. Zeilensummennorm: [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel_\infty [/mm] = {|1|+|1|,|1|+|1|,|-1|+|-1|}=2
Spektralnorm: [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel_2 [/mm] = max{ [mm] |\lambda|^{1/2}: \lambda [/mm] ist Eigenwert von [mm] \overline{A}^TA [/mm] } = [mm] |4|^{1/2}=2. [/mm]
Bew:
[mm] \overline{A} [/mm] = A auf Grund von [mm] \IR^{3x3}
[/mm]
[mm] A^T [/mm] = [mm] \pmat{0 & 1 & 1 \\1 & 1 & 0\\-1 & 0 &-1} [/mm]
[mm] A^T*A [/mm] = [mm] \pmat{0 & 1 & 1 \\1 & 1 & 0\\-1 & 0 &-1} *\pmat{0 & 1 & -1 \\1 & 1 & 0\\1 & 0 &-1} [/mm] = [mm] \pmat{2 & 1 & -1 \\1 & 2 & -1\\-1 & -1 &-2}
[/mm]
...
char. Polynom von [mm] \pmat{2 & 1 & -1 \\1 & 2 & -1\\-1 & -1 &-2} [/mm] = [mm] \lambda^3 [/mm] - [mm] 6\lambda^2+9\lambda-4
[/mm]
...
=> Eigenwerte={1,1,4}
Liebe Grüße
sommer![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
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> Sei [mm]\pmat{0 & 1 & -1 \\1 & 1 & 0\\1 & 0 &-1} \in \IR^{3x3}.[/mm]
> Bestimmen Sie die Normen [mm]\parallel[/mm] A [mm]\parallel_1, \parallel[/mm]
> A [mm]\parallel_2[/mm] und [mm]\parallel[/mm] A [mm]\parallel_\infty[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe folgende Lösung. Insbesondere ob die
> Herangehensweise für [mm]\parallel[/mm] A [mm]\parallel_2[/mm] stimmt, würde
> mich interessieren.
>
> max. Spaltensummennorm: [mm]\parallel[/mm] A [mm]\parallel_1[/mm] =
> max{|1|+|-1|,|1|+|1|,|1|+|-1|}=2
> max. Zeilensummennorm: [mm]\parallel[/mm] A [mm]\parallel_\infty[/mm] =
> {|1|+|1|,|1|+|1|,|-1|+|-1|}=2
> Spektralnorm: [mm]\parallel[/mm] A [mm]\parallel_2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= max{
> [mm]|\lambda|^{1/2}: \lambda[/mm] ist Eigenwert von [mm]\overline{A}^TA[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } = [mm]|4|^{1/2}=2.[/mm]
> Bew:
> [mm]\overline{A}[/mm] = A auf Grund von [mm]\IR^{3x3}[/mm]
> [mm]A^T[/mm] = [mm]\pmat{0 & 1 & 1 \\1 & 1 & 0\\-1 & 0 &-1}[/mm]
> [mm]A^T*A[/mm] = [mm]\pmat{0 & 1 & 1 \\1 & 1 & 0\\-1 & 0 &-1} *\pmat{0 & 1 & -1 \\1 & 1 & 0\\1 & 0 &-1}[/mm]
> = [mm]\pmat{2 & 1 & -1 \\1 & 2 & -1\\-1 & -1 &\red{+}2}[/mm]
Hallo,
oben ist ein Vorzeichen falsch, aber da Du die richtigen Eigenwerte bekommst, wirds wohl nur ein Tippfehler sein.
Damit hast Du dann auch für die 2-Norm die 2.
Gruß v. Angela
> ...
> char. Polynom von [mm]\pmat{2 & 1 & -1 \\1 & 2 & -1\\-1 & -1 &-2}[/mm]
> = [mm]\lambda^3[/mm] - [mm]6\lambda^2+9\lambda-4[/mm]
> ...
> => Eigenwerte={1,1,4}
>
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> Liebe Grüße
> sommer
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