Matrizenpotenz < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Mo 23.07.2007 | | Autor: | JB84 |
| Aufgabe | | Berechne [mm] A^n, [/mm] A =({0,1}{2,1}) |
Sehe ich das richtig:
1. Eigenwerte berechnen ( Det( [mm] A-\lambda [/mm] * [mm] I_{n} [/mm] ) = 0
[mm] \lambda_{1} [/mm] = -1
[mm] \lambda_{2} [/mm] = 2
2. Eigenvektoren berechnen
[mm] (A-\lambda_{1} [/mm] * [mm] I_{n} [/mm] ) [mm] v_1= [/mm] 0
[mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2}
[/mm]
[mm] (A-\lambda_{2} [/mm] * [mm] I_{n} [/mm] ) [mm] v_2= [/mm] 0
[mm] v_2 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1}
[/mm]
3. [mm] A^n [/mm] = SD [mm] S^{-1}
[/mm]
wobei [mm] S=\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & -1 } [/mm] aus [mm] \lambda_{1} [/mm] und [mm] \lambda_{2}
[/mm]
sowie dessen Inverse S^-1
und die Diagonalmatrix aus [mm] \lambda_{1} [/mm] und [mm] \lambda_{2}
[/mm]
[mm] A^n=\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & -1 } \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 2 } \pmat{ \bruch{2}{3} & -\bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{3} & \bruch{1}{3}}
[/mm]
Wenn ich das jetzt berechne z.B. mit n =7 bekomme ich ganz etwas anderes als wenn ich [mm] A^7 [/mm] mit Mathematica berechne. Die Inverse sollte richtig sein da [mm] S^{-1} [/mm] * S = [mm] I_{n}
[/mm]
Ist mein Vorgehen falsch? Ich finde dazu leider nichts im Internet.
Vielen Dank für eine Antwort.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Berechne [mm]A^n,[/mm] A [mm] =\pmat{ 0 & 1 \\ 2 & 1 }
[/mm]
> Sehe ich das richtig:
>
> 1. Eigenwerte berechnen ( Det( [mm]A-\lambda[/mm] * [mm]I_{n}[/mm] ) = 0
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = -1
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = 2
Hallo,
der Weg, den Du planst, ist der richtige.
Deine Eigenwerte stimmen.
Bei den Eigenvektoren arbeitest Du an der Schaffung v. Chaos.
Nicht, weil Du falsch rechnen würdest, die rechnungen sind richtig.
Aber es ist übersichtlich, den EV zu EW [mm] \lambda_{1} [/mm] mit [mm] v_1 [/mm] zu bezeichnen und nicht mit [mm] v_2.
[/mm]
Möglicherweise liegt hier eine Fehlerquelle.
Wir benennen jetzt schnell Deine Eigenwerte um, dann paßt's.
[mm]\lambda_{1}[/mm] = 2
[mm]\lambda_{2}[/mm] = -1
> 2. Eigenvektoren berechnen
> [mm](A-\lambda_{1}[/mm] * [mm]I_{n}[/mm] ) [mm]v_1=[/mm] 0
> [mm]v_1[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm]
>
> [mm](A-\lambda_{2}[/mm] * [mm]I_{n}[/mm] ) [mm]v_2=[/mm] 0
> [mm]v_2[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ -1}[/mm]
>
> 3. [mm]A^n[/mm] = SD [mm]S^{-1}[/mm]
Moment! Du meinst sicher A=SD [mm] S^{-1}.
[/mm]
>
> wobei [mm]S=\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & -1 }[/mm] aus [mm]\lambda_{1}[/mm] und
> [mm]\lambda_{2}[/mm]
> sowie dessen Inverse S^-1
Ganz richtig.
> und die Diagonalmatrix aus [mm]\lambda_{1}[/mm] und [mm]\lambda_{2}[/mm],
und nach unserer Drehung haben wir
A=SD [mm] S^{-1}=S\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & -1 }S^{-1}.
[/mm]
>
> [mm]A^n=\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & -1 } \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 2 } \pmat{ \bruch{2}{3} & -\bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{3} & \bruch{1}{3}}[/mm]
Hier fehlt die n_te Potenz der Diagonalmatrix. Es muß heißen:
[mm] A^n=SD S^{-1}SD S^{-1}...SD S^{-1}=SD^nS^{-1}
[/mm]
> Wenn ich das jetzt berechne z.B. mit n =7 bekomme ich ganz
> etwas anderes als wenn ich [mm]A^7[/mm] mit Mathematica berechne.
Jetzt sollte alles stimmen, Deine Inverse habe ich aber nicht nachgerechnet.
Wie ich es sehe, ist der einzige Fehler das Verdrehen der Eigenwerte bzw. -vektoren.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Mo 23.07.2007 | | Autor: | JB84 |
hei Angela. Vielen Dank.
Ja genau die nte potenz hab ich vergessen hier aufzuschreiben. Nicht aber zu berechnen. Zur Diagonalmatrix:
Wie weiss ich welcher Eigenwert zuerst kommt??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Mo 23.07.2007 | | Autor: | twoways |
Also ich habe mal gelernt, dass diese einfach Aufsteigend sortiert werden. Aber lass es lieber von Angela untermauern.
|
|
|
| |
|
> hei Angela. Vielen Dank.
>
> Ja genau die nte potenz hab ich vergessen hier
> aufzuschreiben. Nicht aber zu berechnen. Zur
> Diagonalmatrix:
>
> Wie weiss ich welcher Eigenwert zuerst kommt??
Im Prinzip ist das völlig egal. Aber eine einmal gewählte Reihenfolge muß beibehalten werden.
Was bei Dir so fatal war, war, daß Du den Eigenvektor zum zweiten Eigenwert dem ersten zugeordnet hast und umgekehrt, so daß es nicht mehr gepaßt hat. Denn dann stimmen die Rechnungen nicht mehr. Deshalb habe ich kurzerhand umgetauft.
Was twoways sagt, wird oft so gemacht, weil's schön übersichtlich ist, jedenfalls, solange man es mit einfachen und reellen Eigenwerten zu tun hat. Einen mathematischen Gehalt hat es nicht.
Wenn man mehrfache Eigenwerte hat, startet man gern mit denen, die in der größten Vielfachheit vorkommen.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
