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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:43 Mi 18.04.2007 | | Autor: | AndyH |
| Aufgabe | Sei S= [mm] \pmat{ 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 } [/mm] Sei K die menge aller A [mm] \in M_{3} (\IQ), [/mm] für die gilt AS=SA
Man zeige:
Für jeden Vektor x [mm] \in \IQ³, [/mm] x [mm] \not= [/mm] 0 gilt, dass x, Sx, S²x linear unabhängig sind.
ANleitung dafür:
Man verwende, dass das char. Polynom von S keine Nullstellen in [mm] \IQ [/mm] hat und zeige:
(i) Sx [mm] \not\in [/mm] <x>; (ii) S²x [mm] \not\in [/mm] <x, Sx>
Für (ii) ergänze man x, Sx mit einem y zu einer Basis von [mm] \IQ³ [/mm] und betrachte die Darstellungsmatrix der lin Abbildung [mm] \IQ³ \to \IQ³, [/mm] v [mm] \mapsto [/mm] Sv bzgl dieser Basis; was folgt für das char Polynom von S, wenn (ii) nicht gilt?
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ich glaub mit (i) bin ich noch ganz gut bedient, aber (ii) ist mir nicht klar. Wie sollte ich vorgehen nach dieser ANleitung?
Oder gibt es noch elegantere Möglichkeiten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Sa 21.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei S= [mm]\pmat{ 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm] Sei K
> die menge aller A [mm]\in M_{3} (\IQ),[/mm] für die gilt AS=SA
Was hat $K$ mit dem Rest der Aufgabe zu tun?
>
> Man zeige:
> Für jeden Vektor x [mm]\in \IQ³,[/mm] x [mm]\not=[/mm] 0 gilt, dass x, Sx,
> S²x linear unabhängig sind.
>
> ANleitung dafür:
> Man verwende, dass das char. Polynom von S keine
> Nullstellen in [mm]\IQ[/mm] hat und zeige:
> (i) Sx [mm]\not\in[/mm] <x>; (ii) S²x [mm]\not\in[/mm] <x, Sx>
>
> Für (ii) ergänze man x, Sx mit einem y zu einer Basis von
> [mm]\IQ³[/mm] und betrachte die Darstellungsmatrix der lin Abbildung
> [mm]\IQ³ \to \IQ³,[/mm] v [mm]\mapsto[/mm] Sv bzgl dieser Basis; was folgt
> für das char Polynom von S, wenn (ii) nicht gilt?
>
> ich glaub mit (i) bin ich noch ganz gut bedient, aber (ii)
> ist mir nicht klar. Wie sollte ich vorgehen nach dieser
> ANleitung?
Genau so wie es da steht 
Zu (i): Wenn $S x [mm] \in \langle [/mm] x [mm] \rangle$ [/mm] ist, gibt es ein [mm] $\lambda \in \IQ$ [/mm] mit $S x = [mm] \lambda [/mm] x$. Da $x [mm] \neq [/mm] 0$ ist, ist [mm] $\lambda$ [/mm] ein Eigenwert von $A$. Was folgt daraus fuer das charakteristische Polynom von $A$?
Zu (ii): Sei $y [mm] \in \IQ^3$ [/mm] so, dass [mm] $\{ x, S x, y \}$ [/mm] linear unabhaengig ist. Angenommen, es gilt [mm] $S^2 [/mm] x [mm] \in \langle [/mm] x, S x [mm] \rangle$. [/mm] Dann gibt es [mm] $\lambda_1, \lambda_2 \in \IQ$ [/mm] mit [mm] $S^2 [/mm] x = [mm] \lambda_1 [/mm] x + [mm] \lambda_2 [/mm] S x$. Seien weiter [mm] $\mu_1, \mu_2, \mu_3 \in \IQ$ [/mm] mit $S y = [mm] \mu_1 [/mm] x + [mm] \mu_2 [/mm] S x + [mm] \mu_3 [/mm] y$. Die Darstellungsmatrix von $x [mm] \mapsto [/mm] A x$ bezueglich der Basis $(x, S x, y)$ ist also $M = [mm] \pmat{ 0 & \lambda_1 & \mu_1 \\ 1 & \lambda_2 & \mu_2 \\ 0 & 0 & \mu_3 }$.
[/mm]
Jetzt ist das charakteristische Polynom von $M$ gleich dem von $A$ (weisst du warum?). Berechne mal das charakteristische Polynom von $M$. Faellt dir was auf?
> Oder gibt es noch elegantere Möglichkeiten?
Sie ist doch ziemlich elegant :)
LG Felix
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