Matrizenrechnung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Mo 11.01.2010 | | Autor: | pestaiia |
| Aufgabe | Gegeben seien die Matrizen
A [mm] =\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3}
[/mm]
B [mm] =\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1& 2 & 3 \\1 & 2 & 3 }
[/mm]
Man zeige, dass es zu jedem [mm] \lambda \in \IR [/mm] einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor v [mm] \in \IR3 [/mm] gibt mit
[mm] Av=\lambda [/mm] Bv |
Kann mir jeman einen Hinweis geben wie ich hier vorgehen muss?
Ich hab leider keine Ahnung!
Danke schon mal!
LG Pestaiia
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Mo 11.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben seien die Matrizen
> A [mm]=\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3}[/mm]
>
> B [mm]=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1& 2 & 3 \\1 & 2 & 3 }[/mm]
>
> Man zeige, dass es zu jedem [mm]\lambda \in \IR[/mm] einen vom
> Nullvektor verschiedenen Vektor v [mm]\in \IR3[/mm] gibt mit
> [mm]Av=\lambda[/mm] Bv
> Kann mir jeman einen Hinweis geben wie ich hier vorgehen
> muss?
> Ich hab leider keine Ahnung!
Sei [mm]\lambda \in \IR[/mm] . Betrachte nun Das LGS
[mm]Av-\lambda Bv=0[/mm]
Du mußt zeigen, dass dieses LGS eine Lösung $v [mm] \not=0$ [/mm] hat. Dies ist genau dann der Fall, wenn
$det(A- [mm] \lambda [/mm] B) = $ ???
ist ?
FRED
> Danke schon mal!
> LG Pestaiia
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Mo 11.01.2010 | | Autor: | pestaiia |
Danke für den Tipp! Determinanten kommen leider erst im übernächsten Kapitel dran. Kann man die Aufgabe auch anders lösen? Ansonsten probier ichs mal mit der Determinante. ich denke es muss eine Zal größer Null für die det rauskommen, oder?
|
|
|
| |
|
> Danke für den Tipp! Determinanten kommen leider erst im
> übernächsten Kapitel dran. Kann man die Aufgabe auch
> anders lösen?
Hallo,
ja: statt mit der Det. zu gucken ob es lösbar ist, bestimme einfach die Lösungen von $ [mm] Av-\lambda [/mm] Bv=0 $ <==> [mm] (A-\lambda [/mm] B)v=0,
also den Kern von [mm] A-\lambda [/mm] B in Abhängigkeit von [mm] \lambda.
[/mm]
Gruß v. Angela
Ansonsten probier ichs mal mit der
> Determinante. ich denke es muss eine Zal größer Null für
> die det rauskommen, oder?
Wenn [mm] (A-\lambda [/mm] B)v=0 eine von der trivialen Lösung verschiedene Lösung hat, dann ist [mm] det(A-\lambda [/mm] B)=0
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:52 Mi 13.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Danke für den Tipp! Determinanten kommen leider erst im
> > übernächsten Kapitel dran. Kann man die Aufgabe auch
> > anders lösen?
>
> Hallo,
>
> ja: statt mit der Det. zu gucken ob es lösbar ist,
> bestimme einfach die Lösungen von [mm]Av-\lambda Bv=0[/mm] <==>
> [mm](A-\lambda[/mm] B)v=0,
>
> also den Kern von [mm]A-\lambda[/mm] B in Abhängigkeit von
> [mm]\lambda.[/mm]
>
> Gruß v. Angela
>
>
>
> Ansonsten probier ichs mal mit der
> > Determinante. ich denke es muss eine Zal größer Null für
> > die det rauskommen, oder?
>
> Sie muß bloß [mm]\not=0[/mm] sein.
Guten morgen Angela,
wenn das LGS
$ [mm] Av-\lambda [/mm] Bv=0 $
eine Lösung $v [mm] \not=0$ [/mm] haben soll, so muß [mm] $det(Av-\lambda [/mm] Bv)= 0$ sein.
Gruß FRED
>
|
|
|
| |
|
> >
> > Ansonsten probier ichs mal mit der
> > > Determinante. ich denke es muss eine Zal größer Null für
> > > die det rauskommen, oder?
> >
> > Sie muß bloß [mm]\not=0[/mm] sein.
>
>
> Guten morgen Angela,
>
> wenn das LGS
>
> [mm]Av-\lambda Bv=0[/mm]
>
> eine Lösung [mm]v \not=0[/mm] haben soll, so muß [mm]det(Av-\lambda Bv)= 0[/mm]
> sein.
>
> Gruß FRED
> >
Oh weh. Da hab' ich wohl im Angesichte des Schlüsselreizes "Determinante" auf eine nicht gestellte Frage geantwortet.
Danke fürs Aufpassen!
Gruß v. Angela
|
|
|
|
