Max. Anstieg von f(x) < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:31 So 09.05.2010 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | Wann ändert sich der Wasserstand am schnellsten von der Funktion f(x)=2*sin [mm] (\bruch{\pi}{6}(x-3))+2?
[/mm]
Berechnen Sie die Geschwindigkeit.
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Hallo Leute,
meines Wissens nach ändert sich der Wasserstand am schnellsten, wenn der Anstieg der Funktion maximal ist.
Also habe ich erstmal die Ableitung von f(x) gebildet:
Substitution: [mm] u=u(x)=\bruch{\pi}{6}x-\bruch{\pi}{2}
[/mm]
Äußere Funktion: y=F(u)=2*sin (u) +2
Innere [mm] Funktion: u=u(x)=\bruch{\pi}{6}x-\bruch{\pi}{2}
[/mm]
Äußere Ableitung: [mm] \bruch{dy}{du}=2*cos [/mm] u
Innere Ableitung: [mm] \bruch{du}{dx}=\bruch{\pi}{6}
[/mm]
Kettenregel: [mm] f‘(x)=\bruch{dy}{dx}=\bruch{dy}{du}*\bruch{du}{dx}=(2 [/mm] cos [mm] u)*\bruch{\pi}{6}=\bruch{\pi}{3} [/mm] * cos u
Rücksubstitution: [mm] f‘(X)=\bruch{\pi}{3}* [/mm] cos [mm] (\bruch{\pi}{6}(x-3))
[/mm]
Aber nun bin ich ratlos - ich bin der Meinung, dass ich die Ableitungsfunktion nicht null setzen bruahce, da mich die Extrempunkte nich interessieren. Vllt. müsste ich ja die Wendestellen ausrechnen, da nach meiner Vermutung dort der Anstieg maximal ist (Funktion habe ich schon zeichnen lassen (Plotter)). Aber wie belege ich das??
Hat jemand eine Idee??
Silfide
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Hiho,
> Aber nun bin ich ratlos - ich bin der Meinung, dass ich die
> Ableitungsfunktion nicht null setzen bruahce, da mich die
> Extrempunkte nich interessieren.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Vllt. müsste ich ja die
> Wendestellen ausrechnen, da nach meiner Vermutung dort der
> Anstieg maximal ist (Funktion habe ich schon zeichnen
> lassen (Plotter)). Aber wie belege ich das??
Also halten wir fest: Du hast bereits festgestellt, dass die Änderung des Wasserstandes der ersten Ableitung entspricht, diese hast du gebildet, d.h.
Änderung des Wasserstandes = [mm] $\bruch{\pi}{3}\cdot{} [/mm] $ cos $ [mm] (\bruch{\pi}{6}(x-3)) [/mm] $
Nun willst du DIESE Funktion maximieren, und da gehst du nach bekanntem Schema vor.
Ableitung bilden, Nullsetzen.... etc etc.
Dass da zufällig auch die Wendestellen der ersten Funktion herauskommen, interessiert dich ja nur am Rande und ist schön, dass du das erkannt hast 
MFG,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 So 09.05.2010 | | Autor: | silfide |
Danke für deine Hilfe...
In meinem Kopf besteht noch mehr Klärungsbedarf!
Also:
[mm] f‘‘(x)=\bruch{\pi^2}{18}*-sin (\bruch{\pi}{6}(x-3))
[/mm]
0= [mm] \bruch{\pi^2}{18}*-sin (\bruch{\pi}{6}(x-3))
[/mm]
Sinus ist gleich null, wenn die innere Funktion null ist - die innere Funktion ist Null, wenn ich 3 einsetze, also ist x=3
Bzw. kann ich auch dem x-Wert die Periodizität hinzurechnen, da die innere Funktion dann [mm] \pi [/mm] bzw. einen andere Form annimmt, wo jedesmal aber sinus gleich null ist.
Leider, kann ich das aber nicht einfach ausrechnen.
Nun wo ich es weiß, was mache ich dann??
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> [mm]f‘‘(x)=\bruch{\pi^2}{18}*-sin (\bruch{\pi}{6}(x-3))[/mm]
> 0=
> [mm]\bruch{\pi^2}{18}*-sin (\bruch{\pi}{6}(x-3))[/mm]
>
> Sinus ist gleich null, wenn die innere Funktion null ist -
> die innere Funktion ist Null, wenn ich 3 einsetze, also ist
> x=3
> Bzw. kann ich auch dem x-Wert die Periodizität
> hinzurechnen, da die innere Funktion dann [mm]\pi[/mm] bzw. einen
> andere Form annimmt, wo jedesmal aber sinus gleich null
> ist.
>
> Leider, kann ich das aber nicht einfach ausrechnen.
Hiho,
kannst du sehr wohl
Der Wert im Sinus muss ein Vielfaches von [mm] \pi [/mm] sein, d.h. die Form [mm] $k\pi$ [/mm] haben mit [mm] $k\in\IZ$.
[/mm]
Nun rechne das einfach aus:
[mm] $\bruch{\pi}{6}(x-3) [/mm] = [mm] k\pi$
[/mm]
Nach x Umstellen, in die nächste Ableitung einsetzen => fertig.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 So 09.05.2010 | | Autor: | silfide |
Hallo Gono,
habe deine Anweisungen erfüllt. 
x=6*k+3
f'''(x)> 0 - somit liegt ein Wendepunkt vor.
Der Wendepunkt hat die Koordinaten x=6*k+3 und y=2.
Okay, und wenn der Anstieg in der ersten Ableitung maximal sein soll, muss der Anstieg in der zweiten Ableitung Null sein.
Richtig?
Silfide
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Hiho,
> x=6*k+3
korrekt.
> f'''(x)> 0
Warum?
> - somit liegt ein Wendepunkt vor.
Das interessiert uns ja aber nicht.
Sondern ob es ein Maximum oder Minimum ist.
> Der Wendepunkt hat die Koordinaten x=6*k+3 und y=2.
>
> Okay, und wenn der Anstieg in der ersten Ableitung maximal
> sein soll, muss der Anstieg in der zweiten Ableitung Null
> sein.
>
> Richtig?
Das haben wir doch eben ausderechnet!
Nun musst du nur noch prüfen, ob es Maxima oder Minima sind.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 So 09.05.2010 | | Autor: | silfide |
> > f'''(x)> 0
>
> Warum?
f‘‘‘(x)= [mm] \bruch{\pi^3}{108}*-cos [/mm] (π*k)
[mm] f'''(x)=\bruch{\pi^3}{108}*-1
[/mm]
f'''(x) [mm] \approx [/mm] 0,2891 -> somit handelt es sich um ein Minimum...(wenn k ungerade ist)
Für gerade k's (2,4,6...) handelt es sich um Maximas, denn
[mm] f'''(x)\approx [/mm] -0,2891
Mmmmhhhh.... kann man das so schreiben??
Allerdings wenn ich mir die Funktion anschaue, hat die Funktion in den Maximas einen negativen Anstieg und in den Minimas einen positiven ...
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> > > f'''(x)> 0
> >
> > Warum?
> f‘‘‘(x)= [mm]\bruch{\pi^3}{108}*-cos[/mm] (π*k)
> [mm]f'''(x)=\bruch{\pi^3}{108}*-1[/mm]
> f'''(x) [mm]\approx[/mm] 0,2891 -> somit handelt es sich um ein
> Minimum...(wenn k ungerade ist)
>
> Für gerade k's (2,4,6...) handelt es sich um Maximas,
> denn
> [mm]f'''(x)\approx[/mm] -0,2891
>
> Mmmmhhhh.... kann man das so schreiben??
Hiho,
das kann man so schreiben, wenn man das Vorzeichen korrekt gesetzt hätte
da steht ja [mm] $-\cos(k\pi)$ [/mm] und das ist eben -1 für gerade k und 1 für ungerade k, also genau andersherum, als du es hast!
> Allerdings wenn ich mir die Funktion anschaue, hat die
> Funktion in den Maximas einen negativen Anstieg und in den
> Minimas einen positiven ...
>
Das erklärt auch deine Beobachtungen :)
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 So 09.05.2010 | | Autor: | silfide |
Danke für deine Geduld, komme leider immernoch nicht klar....
Wenn ich für k=1 einsetze, dann folgt daraus:
f‘‘‘(x)= [mm] \bruch{\pi^3}{108}*-cos(\pi*1)
[/mm]
[mm] f'''(x)=\bruch{\pi^3}{108}*[red]+[/red]1 [/mm]
f'''(x) [mm]\approx[/mm] 0,2891 also Minimum...(wenn k ungerade ist)
f'''(x)> 0 ist Minimum
Hat einen Tipfehler, das Ergebnis ändert sich allerdings nicht!
f‘‘‘(x)= [mm] \bruch{\pi^3}{108}*-cos(\pi*2)
[/mm]
[mm] f'''(x)=\bruch{\pi^3}{108}*-1 [/mm]
f'''(x) [mm]\approx[/mm] - 0,2891 also Maximum...(wenn k gerade ist)
f'''(x)<0 ist Maximum
Lese ich die Bedingung für ein Maximum bzw. Minimum falsch.
Ich stehe auf dem Schlau...
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> Danke für deine Geduld, komme leider immernoch nicht
> klar....
>
> Wenn ich für k=1 einsetze, dann folgt daraus:
> f‘‘‘(x)= [mm]\bruch{\pi^3}{108}*-cos(\pi*1)[/mm]
> [mm]f'''(x)=\bruch{\pi^3}{108}*[red]+[/red]1[/mm]
> f'''(x) [mm]\approx[/mm] 0,2891 also Minimum...(wenn k ungerade
> ist)
> f'''(x)> 0 ist Minimum
> Lese ich die Bedingung für ein Maximum bzw. Minimum
> falsch.
Wieso, ist doch alles korrekt.
Wenn du dir die Funktion z.B. an der Stelle für $k=1$ (nämlich $x = 6k + 3 = 9$ ) anschaust, hat sie doch dort auch ein Minimum
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:13 So 09.05.2010 | | Autor: | silfide |
Okay, nun weiß ich auch was ich falsch gemacht habe, habe an der falschen Stelle abgelesen, also für k=1, bei k=0 geschaut.
Aua.
Ich danke dir.
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Hallo!
> Wann ändert sich der Wasserstand am schnellsten von der
> Funktion f(x)=2*sin [mm](\bruch{\pi}{6}(x-3))+2?[/mm]
> Berechnen Sie die Geschwindigkeit.
>
> Hallo Leute,
>
> meines Wissens nach ändert sich der Wasserstand am
> schnellsten, wenn der Anstieg der Funktion maximal ist.
>
> Also habe ich erstmal die Ableitung von f(x) gebildet:
>
>
> Substitution: [mm]u=u(x)=\bruch{\pi}{6}x-\bruch{\pi}{2}[/mm]
> Äußere Funktion: y=F(u)=2*sin (u) +2
> Innere [mm]Funktion: u=u(x)=\bruch{\pi}{6}x-\bruch{\pi}{2}[/mm]
> Äußere Ableitung: [mm]\bruch{dy}{du}=2*cos[/mm] u
> Innere Ableitung: [mm]\bruch{du}{dx}=\bruch{\pi}{6}[/mm]
> Kettenregel:
> [mm]f‘(x)=\bruch{dy}{dx}=\bruch{dy}{du}*\bruch{du}{dx}=(2[/mm] cos
> [mm]u)*\bruch{\pi}{6}=\bruch{\pi}{3}[/mm] * cos u
> Rücksubstitution: [mm]f‘(X)=\bruch{\pi}{3}*[/mm] cos
> [mm](\bruch{\pi}{6}(x-3))[/mm]
>
> Aber nun bin ich ratlos - ich bin der Meinung, dass ich die
> Ableitungsfunktion nicht null setzen bruahce, da mich die
> Extrempunkte nich interessieren. Vllt. müsste ich ja die
> Wendestellen ausrechnen, da nach meiner Vermutung dort der
> Anstieg maximal ist (Funktion habe ich schon zeichnen
> lassen (Plotter)). Aber wie belege ich das??
> Hat jemand eine Idee??
Ist f in [mm] \vec{x}_{0} [/mm] differenzierbar, gilt
[mm] \bruch{\partial f}{\partial\vec{a}}(\vec{x}_{0})=grad f(\vec{x}_{0})*\bruch{\vec{a}}{|\vec{a}|}=|grad f(\vec{x}_{0})|*cos(\varphi), [/mm] mit [mm] \varphi=\angle(grad f(\vec{x}_{0}),\vec{a})
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] für [mm] \varphi=0^{0} [/mm] zeigt der Gradient in die Richtung des maximalen Anstiegs.
Gruß, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 So 09.05.2010 | | Autor: | silfide |
Das sieht interessant aus, allerdings habe ich noch gar keinen Plan wovon du redest.
Das übersteigt eindeutig meine mathematischen Kenntnisse...
Danke für deine Mühe.
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Hallo,
ja da scheint mir der gute Marcel ein wenig übers Ziel hinausgeschossen zu sein.
na jedenfalls musst du ja hier die Extremstellen der 1.Ableitung finden, also nochmal kräftig ableiten und die 2.Ableitung dann 0 setzen usw.
Gruss Christian
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