Max. Rechteck zw. 2 Parabeln < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die Lage und Größe eines Max. Rechtecks zwischen den Funktionen f(x)= [mm] -0,5x^2 [/mm] -x + 7,5 u d h(x)= [mm] -6x^2 [/mm] -12x soll bestimmt werden. Hierbei liegt die Parabel h(x) unterhalb der Parabel f(x). |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Ich habe bereits eine Skizze gemacht und konnte anhand der Maxima der 2 Graphen erkennen, dass die Höhe des Rechtecks Max. 2 ist. Jetzt muss ich mich an die Extremwertaufgaben machen. Dazu habe ich die Hauptbedingung A = g x h aufgestellt. Ratlos bin ich jetzt, wie ich auf die Nebenbedingung kommen soll, da ich nicht weiß, welche Angaben da rein müssen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:14 Fr 02.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
ist das die exakte Aufgabe? zwischen den 2 Parabeln kannst du oben ein Rechteck einzeichnern, die untere Seite liegt dann tangential an h und die Höhe kleiner 2, aber du kannst auch links oder rechts zwischen die Kurven ein viel grßeres Rechteck zeichnen.
sagt die Aufgabe , was gemeint ist?
Gruß leduart
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Das Rechteck ist zwischen den Parabeln und berührt sozusagen den Hochpunkt von h(x)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 Fr 02.01.2015 | | Autor: | chrisno |
In der Aufgabe steht nicht, dass eine Kante des Rechtecks waagerecht, also parallel zur x-Achse liegen muss. Da nehme ich nun mal an.
Die Oberkante des Rechtecks stößt gegen f(x). Die beiden Endpunkte nenne ich A und B.
A hat die Koordinaten [mm] $(x_a/f(x_a)$ [/mm] und B hat die Koordinaten [mm] $(x_b/f(x_b)$. [/mm] Dabei muss [mm] $f(x_a) [/mm] = [mm] f(x_b)$ [/mm] gelten.
Die Unterkante berührt h(x). Damit sind die Koordinaten der beiden Endpunkte C und D klar:
C hat die Koordinaten [mm] $(x_a/6)$ [/mm] und B hat die Koordinaten [mm] $(x_b/6)$.
[/mm]
Nun siehst Du, dass die Größe der Fläche des Rechtecks durch die Wahl von [mm] $x_a$ [/mm] (oder [mm] $x_b$) [/mm] festgelegt ist:
$A = [mm] (f(x_a)-6) \cdot (x_b [/mm] - [mm] x_a)$ [/mm] wobei es natürlich relativ lästig ist, [mm] $x_b$ [/mm] aus [mm] $x_a$ [/mm] zu berechnen. Daher vermute ich, dass es einen eleganteren Weg gibt.
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Danke für die Antwort! Muss ich keine Nebenbedingung aufstellen und das dann sozusagen ,,klassisch" lösen?
P.S.: ich möchte an dieser Stelle einmal fairerweise sagen, dass ich keine Benachrichtigung über die Antwort bekommen hab und die Frage deshalb eben woanders gestellt habe.... Ich kann das dort gerne löschen, wenn es die Helfer hier stört.
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Die Parabeln haben beide ihren Scheitel bei [mm]x = - 1[/mm]. Schiebt man sie also um 1 nach rechts, bekommen sie die Gleichungen
[mm]\tilde{f}(x) = - \frac{1}{2}x^2 + 8[/mm]
[mm]\tilde{h}(x) = -6x^2 + 6[/mm]
Ein Blick in die Zeichnung und Nachrechnen zeigt: [mm]\tilde{f}(-2) = \tilde{f}(2) = 6[/mm]. Ist [mm]t[/mm] die erste Koordinate des rechten unteren Rechteckpunktes, so muß folglich [mm]t \in [0,2][/mm] gelten. Die waagrechte Rechteckseite ist somit
[mm]a = a(t) = 2t[/mm]
und die senkrechte
[mm]b = b(t) = \text{???}[/mm]
Damit läßt sich der Flächeninhalt des Rechtecks angeben:
[mm]F(t) = a(t) \cdot b(t) \, , \ \ t \in [0,2][/mm]
Die Fälle [mm]t=0[/mm] und [mm]t=2[/mm] sind Entartungsfälle. Das Rechteck schrumpft auf eine Strecke zusammen.
Um auf die originalen Koordinaten zurückzukommen, muß man am Ende bei den [mm]x[/mm]-Werten 1 subtrahieren.
Die Formel [mm]F=ab[/mm] ist die Hauptbedingung, die Formeln, mit denen [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] durch [mm]t[/mm] ausgedrückt werden, sind die Nebenbedingungen.
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