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Max. Umfang Rechteck Hyperbel: Richtiger Ansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:53 Mi 06.09.2006
Autor: nici78

Aufgabe
geg.: hyperbel 9x²-144y²=1296. Gerade mit x=20 schneidet diese Hyp.
In dieses Segment soll umfanggrößtes Rechteck eingeschrieben werden.


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt


Lösung(von mir): U=2*(a+b)
a=20-x    -->  x=20-a
b=2y       -->  y=b/2

Dann hab ich x und y in die hyp.Gleichung eingesetzt (und quadriert). a berechnet und in die Hauptbedingung eingesetzt. Problem: Nach dem Differenzieren kommt unter der Wurzel neg. Zahl raus. Finde den Fehler nicht! Kann mir das jemand ausrechnen? Danke!

        
Bezug
Max. Umfang Rechteck Hyperbel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:53 Mi 06.09.2006
Autor: Sigrid

Hallo Nici,

[willkommenmr]

> geg.: hyperbel 9x²-144y²=1296. Gerade mit x=20 schneidet
> diese Hyp.
> In dieses Segment soll umfanggrößtes Rechteck
> eingeschrieben werden.
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>  
>
> Lösung(von mir): U=2*(a+b)
>  a=20-x    -->  x=20-a
>  b=2y       -->  y=b/2
>  
> Dann hab ich x und y in die hyp.Gleichung eingesetzt (und
> quadriert). a berechnet und in die Hauptbedingung
> eingesetzt. Problem: Nach dem Differenzieren kommt unter
> der Wurzel neg. Zahl raus. Finde den Fehler nicht! Kann mir
> das jemand ausrechnen? Danke!

Da du deine Rechnung nicht angegeben hast, ist es schwer, den Fehler zu finden. Ich habe folgende Zielfunktion (hoffentlich ohne Rechenfehler):

$ U(x) = 2(20-x+2 [mm] \wurzel{\bruch{1}{16} x^2 - 9}) [/mm] $

Quadrieren bringt hier allerdings nichts, da dadurch die Wurzel nicht verschwindet. Die Ableitung ist aber problemlos, und du bekommst dann auch ein vernünftiges Ergebnis.

Gruß
Sigrid

Bezug
        
Bezug
Max. Umfang Rechteck Hyperbel: anderer Ansatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:27 Mi 06.09.2006
Autor: VNV_Tommy

Hallo nici78,

ich bin anders an die Lösung der aufgabe herangegangen. Ich habe nicht das y in der Zielfunktion eleminiert, sondern das x, was den positiven Effekt mit sich bringt, daß die Koeffizienten vor den Variablen keine gemeinen Brüche sind.

Damit komme ich auf folgende Zielfunktion mit zugehörigen Ableitungen:
[mm] U(y)=40-2\wurzel{144+y^{2}}+2y [/mm]

[mm] U'(y)=\bruch{-32y}{\wurzel{144+16y^{2}}}+2 [/mm]

[mm] U''(y)=\bruch{-1024y^{2}-4608}{\wurzel{(144+16y^{2})^{3}}} [/mm]

U'(y)=0 liefert als Lösung [mm] y=\wurzel{7}, [/mm] was durch Einsetzen in U''(y) [mm] (U''(\wurzel{7}<0) [/mm] als Maximum ausgewiesen wird.
Der x-Wert ergibt sich durch einsetzen in die Nebenbedingung zu x=16.

Somit liegt das Maximum bei [mm] Max(\wurzel{7};16). [/mm]

Probiers mal so.

Gruß,
Tommy

Bezug
                
Bezug
Max. Umfang Rechteck Hyperbel: Vorsicht
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:40 Mi 06.09.2006
Autor: statler

Hallo!

> ich bin anders an die Lösung der aufgabe herangegangen. Ich
> habe nicht das y in der Zielfunktion eleminiert, sondern
> das x, was den positiven Effekt mit sich bringt, daß die
> Koeffizienten vor den Variablen keine gemeinen Brüche
> sind.
>  
> Damit komme ich auf folgende Zielfunktion mit zugehörigen
> Ableitungen:
>  [mm]U(y)=40-2\wurzel{144+y^{2}}+2y[/mm]

Ich denke, hier müssen es 4y sein, weil sich das Rechteck zu beiden Seiten der x-Achse erstrecken soll. Dann ergibt sich eine andere Lösung.
Die zu betrachtende Funktion ist
[mm] U(y)=40-2\wurzel{144+16y^{2}}+4y [/mm]

> Probiers mal so.

aber eben mit der anderen Gleichung

Gruß aus HH-Harburg
Dieter


Bezug
                        
Bezug
Max. Umfang Rechteck Hyperbel: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:12 Mi 06.09.2006
Autor: nici78

Danke Leute für Eure Hilfe!
Die letzte Zielfunktion hatte ich auch. Hab anscheinend immer den gleichen Flüchtigkeitsfehler gemacht.

DAnke auch für die nette Begrüßung im Forum ;-)
Lg nici

Bezug
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