Max. einer Fkt. f(x,y) < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:04 Mo 18.10.2010 | | Autor: | perl |
| Aufgabe | An welchen Stellen nimmt die Funktion
[mm] f:D=\{x,y)\in\IR^{2}| x^{2}+y^{2} \le 1\}\to\IR,
[/mm]
f(x,y) = [mm] x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}+2x^{2}+2y^{2}+1
[/mm]
ihren maximalen Wert an?
(Staatsexamen, Frühjahr 07, thema3, aufgabe4) |
hallo! ich weiß leider überhaupt nicht [mm] wie\wo [/mm] ich hier anfangen soll...
wenn die frage nach extrema ist, tipp ich mal auf gradf=(0,0)??
also:
fx(x,y) = [mm] 4x^{3}+4xy^{2}+4x
[/mm]
fy(x,y) = [mm] 4y^{3}+2x^{2}2y+4y
[/mm]
[mm] fx(x,y)=0=4x(x^{2}+y^{2}+1)
[/mm]
also für
I) x=0
und
II) [mm] x^{2}+y^{2}+1=0
[/mm]
[mm] fy(x,y)=0=2y(2y^{2}+2x^{2}+2)
[/mm]
also für III) y=0 und IV) [mm] 2y^{2}+2x^{2}+2=0
[/mm]
mit I) u. III) folgt (0,0)
I) und IV) [mm] 2y^{2}+2=0 [/mm] geht nicht, da in IR
mit II) u. III) geht nicht da in IR
mit II) und IV) --> hier bin ich mir nicht sicher
fxx(x,y) = [mm] 12x^{2}+4y^{2}+4
[/mm]
fyy(x,y) = [mm] 12y^{2}+4x^{2}+4
[/mm]
fxy(x,y) = 8xy=fyx(x,y)
-->
[mm] D=fxx(x,y)fyy(x,y)-(8xy)^{2}>0 [/mm] --> ich krieg iwie nur ein Minimum raus...
für die ganze schreibarbeit die sich iwie als misslungen herausgestellt hat könnte mir jetzt vill jemand nettes die lösung verraten :D
sehr depremierend... mrrr
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:50 Mo 18.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Wie Du richtig festgestellst hast, nimmt die Funktion
f(x,y) = $ [mm] x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}+2x^{2}+2y^{2}+1 [/mm] $
im Nullpunkt ein Minimum an.
Dort ist sogar die Stelle eines absoluten Minimums:
1= f(0,0) [mm] \le [/mm] f(x,y) für alle (x,y)
(wegen der Exponenten 2 und 4.)
Laut Aufgabe ist f def. auf $D= [mm] \{(x,y)\in\IR^2: x^2+y^2 \le 1\}$
[/mm]
Die Frage war: in welchen Punkten in D nimmt f ihren max. wert an ?
Schau Dir f mal genau an, dann siehst Du:
$f(x,y)= [mm] (x^2+y^2)^2+2(x^2+y^2)+1$
[/mm]
Somit:
$f(x,y) [mm] \le [/mm] 1+2+2=4$ für (x,y) [mm] \in [/mm] D
Jetzt betrachte Punkte mit [mm] x^2+y^2=1. [/mm] Was stellst Du fest ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 Mo 18.10.2010 | | Autor: | perl |
> Wie Du richtig festgestellst hast, nimmt die Funktion
>
> f(x,y) = [mm]x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}+2x^{2}+2y^{2}+1[/mm]
>
> im Nullpunkt ein Minimum an.
>
> Dort ist sogar die Stelle eines absoluten Minimums:
>
> 1= f(0,0) [mm]\le[/mm] f(x,y) für alle (x,y)
>
> (wegen der Exponenten 2 und 4.)
>
> Laut Aufgabe ist f def. auf [mm]D= \{(x,y)\in\IR^2: x^2+y^2 \le 1\}[/mm]
>
> Die Frage war: in welchen Punkten in D nimmt f ihren max.
> wert an ?
>
> Schau Dir f mal genau an, dann siehst Du:
>
> [mm]f(x,y)= (x^2+y^2)^2+2(x^2+y^2)+1[/mm]
wie formst du [mm] 2x^{2}y^{2}+2x^{2}+2y^{2} [/mm] zu [mm] 2(x^2+y^2) [/mm] um??!
> Somit:
>
[mm]f(x,y) \le 1+2+1=4[/mm] für (x,y) [mm]\in[/mm] D
>
> Jetzt betrachte Punkte mit [mm]x^2+y^2=1.[/mm] Was stellst Du fest
> ?
dass f(x,y) für [mm]x^2+y^2=1.[/mm] = 4 ist.
somit ein Max. bei [mm] (1-y^{2},^-x^{2}) [/mm] mit dem max. Wert 4???
> FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:20 Mo 18.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Wie Du richtig festgestellst hast, nimmt die Funktion
> >
> > f(x,y) = [mm]x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}+2x^{2}+2y^{2}+1[/mm]
> >
> > im Nullpunkt ein Minimum an.
> >
> > Dort ist sogar die Stelle eines absoluten Minimums:
> >
> > 1= f(0,0) [mm]\le[/mm] f(x,y) für alle (x,y)
> >
> > (wegen der Exponenten 2 und 4.)
> >
> > Laut Aufgabe ist f def. auf [mm]D= \{(x,y)\in\IR^2: x^2+y^2 \le 1\}[/mm]
>
> >
> > Die Frage war: in welchen Punkten in D nimmt f ihren max.
> > wert an ?
> >
> > Schau Dir f mal genau an, dann siehst Du:
> >
> > [mm]f(x,y)= (x^2+y^2)^2+2(x^2+y^2)+1[/mm]
> wie formst du
> [mm]2x^{2}y^{2}+2x^{2}+2y^{2}[/mm] zu [mm]2(x^2+y^2)[/mm] um??!
Das hab ich doch gar nicht.
Es ist [mm] x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}= (x^2+y^2)^2
[/mm]
> > Somit:
> >
> [mm]f(x,y) \le 1+2+1=4[/mm] für (x,y) [mm]\in[/mm] D
> >
> > Jetzt betrachte Punkte mit [mm]x^2+y^2=1.[/mm] Was stellst Du fest
> > ?
> dass f(x,y) für [mm]x^2+y^2=1.[/mm] = 4 ist.
Ja
> somit ein Max. bei [mm](1-y^{2},^-x^{2})[/mm] mit dem max. Wert
> 4???
Ja in jedem Punkt der Einheitskreislinie nimmt f den maximalen Wert 4 an
FRED
>
>
> > FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Mo 18.10.2010 | | Autor: | perl |
stimmt! ich war schon bei der 2. Aufgabe^^
also die unterscheidet sich nur um das minus... aber das mit dem umformen funtioniert hier eben nicht, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:34 Mo 18.10.2010 | | Autor: | perl |
f(x,y) = [mm]x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}+2x^{2}-2y^{2}+1[/mm]
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Hallo perl,
die Frage ist nicht so recht zielgerichtet. 
Natürlich funktioniert das mit dem Umformen, aber es bringt Dir in diesem Fall nichts.
[mm] x^4+y^4+2x^2y^2+2x^2-2y^2+1=(x^2+y^2)^2+2(x^2-y^2)+1
[/mm]
tja, und dann? So kommst Du hier nicht weiter, anders als bei der vorigen Aufgabe.
Also musst Du anders drangehen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 Mo 18.10.2010 | | Autor: | perl |
> Hallo perl,
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> die Frage ist nicht so recht zielgerichtet.
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> Natürlich funktioniert das mit dem Umformen, aber es
> bringt Dir in diesem Fall nichts.
>
> [mm]x^4+y^4+2x^2y^2+2x^2-2y^2+1=(x^2+y^2)^2+2(x^2-y^2)+1[/mm]
>
> tja, und dann? So kommst Du hier nicht weiter, anders als
> bei der vorigen Aufgabe.
Also musst Du anders drangehen.
>
> Grüße
> reverend
>
funktioniert es hier, wenn ich die aufgabe wie eine extremwertaufgabe lösen will?
kleiner Tipp wie man hier rangehn muss? :.(
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Hallo perl,
> > Hallo perl,
> >
> > die Frage ist nicht so recht zielgerichtet.
> >
> > Natürlich funktioniert das mit dem Umformen, aber es
> > bringt Dir in diesem Fall nichts.
> >
> > [mm]x^4+y^4+2x^2y^2+2x^2-2y^2+1=(x^2+y^2)^2+2(x^2-y^2)+1[/mm]
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> > tja, und dann? So kommst Du hier nicht weiter, anders als
> > bei der vorigen Aufgabe.
> Also musst Du anders drangehen.
> >
> > Grüße
> > reverend
> >
> funktioniert es hier, wenn ich die aufgabe wie eine
> extremwertaufgabe lösen will?
> kleiner Tipp wie man hier rangehn muss? :.(
Ersetze [mm]-y^{2}[/mm] durch
[mm]y^{2}-2*y^{2}[/mm]
Dann steht da:
[mm]x^4+y^4+2x^2y^2+2x^2-2y^2+1=(x^2+y^2)^2+2(x^2+\blue{y^{2}-2*y^{2}})+1[/mm]
Gruss
MathePower
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