Max / Min Abstand von Ursprung < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 Do 03.07.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Gegeben ist [mm] E:\{(x,y,z)\in\IR³|x²+y²+z²+x-y=4\}
[/mm]
Zu untersuchen ist, ob es auf E Punkte mit max. oder min. Abstand zum Ursprung gibt. Ebenfalls gesucht sind deren Abstände. |
Hallo
Langsam verzweifel ich mit diesem Fach, nun ja...
Also gegeben ist hier ganz klar eine Oberfläche auf welcher ein Lagrange zu führen ist, jetzt fehlt die Funktion welche ja die Distanz sein soll, welche definiert ist mit: D= [mm] \wurzel(x²+y²+z²) [/mm] oder einfacher d² = x²+y²+z²
Dies ist nun meine Funktion welche ich untersuchen muss:
x²+y²+z²+l*(x²+y²+z²+x-y-4)
[mm] \partial [/mm] x : 2x+l*(2x+1)=0
[mm] \partial [/mm] y: 2y +l*(2y-1)=0
[mm] \partial [/mm] z: 2z +l*2z=0
[mm] \partial [/mm] l: x²+y²+z²+x-y-4
Ich habe nun folgendes versucht:
[mm] \partial [/mm] x nach l auflösen, somit habe ich:
l= -2x/(2x+1)
eingesetzt in [mm] \partial [/mm] y und [mm] \partial [/mm] z bekomme ich:
1)2y*(2x+1)-2x*(2y-1)=0
2)2z*(2x+1)-4xz=0
aus 2) folgt: z=0
aus 1) y=-x
Nun bleibt für mich nichts anderes mehr als meine Lösung in [mm] \partial [/mm] l einzusetzen, dabei verwende ich: y=-x und z=0 - ich darf diese ja als einen Fall untersuchen, da sie ja aus einem l entsprungen sind und somit eine Lösungsmöglichkeit bilden
Also:
2x²+2x+4=0 welches mir eine falsche Lösung ergibt.
Meine Fehlersuche ergab mir folgendes:
1)2y*(2x+1)-2x*(2y-1)=0
2)2z*(2x+1)-4xz=0
Hier irgendwie gehen mir Lösungen verloren, deshalb nochmals genau meinen Rechenweg angeführt:
Für 2):
2z*(2x+1)-2z*2x=0
4zx-2z-4zx=0
z=0
Für 1)
4xy+2y-2xy+2x=0
2y+2x=0
y=-x
Laut Derive sollten die richtigen Lösungen in (0,0,0) liegen und in (-3/2,3/2,0) - von den beiden Punkten bin ich jedenfalls noch etwas entfernt...
Wo habe ich diesen Weg übersehen, wo mir diese Lösungen entwischt wären?
lg
Zuggel
|
|
| |
|
> Gegeben ist [mm]E:\{(x,y,z)\in\IR³|x²+y²+z²+x-y=4\}[/mm]
>
> Zu untersuchen ist, ob es auf E Punkte mit max. oder min.
> Abstand zum Ursprung gibt.
> Laut Derive sollten die richtigen Lösungen in (0,0,0)
> liegen und in (-3/2,3/2,0) - von den beiden Punkten bin ich
> jedenfalls noch etwas entfernt...
Hallo,
Derive irrt - oder Du hast falsch getippt.
Beide Punkte erfüllen doch die Nebenbedingung gar nicht.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Do 03.07.2008 | | Autor: | Zuggel |
> > Gegeben ist [mm]E:\{(x,y,z)\in\IR³|x²+y²+z²+x-y=4\}[/mm]
> >
> > Zu untersuchen ist, ob es auf E Punkte mit max. oder min.
> > Abstand zum Ursprung gibt.
>
> > Laut Derive sollten die richtigen Lösungen in (0,0,0)
> > liegen und in (-3/2,3/2,0) - von den beiden Punkten bin ich
> > jedenfalls noch etwas entfernt...
>
> Hallo,
>
> Derive irrt - oder Du hast falsch getippt.
Zweiteres könnte man als plausibel hinnehmen.
Der restliche Rechenweg von mir ist jedoch korrekt (Rechenschritte sind jetzt mehrmals überprüft), ich fühle mich nur beim Weg selbst unsicher ob ich nicht doch etwas übersehen habe...
Danke
lg
Zuggel
|
|
|
| |
|
> Der restliche Rechenweg von mir ist jedoch korrekt
> (Rechenschritte sind jetzt mehrmals überprüft), ich fühle
> mich nur beim Weg selbst unsicher ob ich nicht doch etwas
> übersehen habe...
Hallo,
grob drüberschauend kam mir Dein Tun nicht unvernünftig vor.
Ich vermisse allerdings die Mitteilung der Punkte, die Du errechnet hast.
Du sagst bloß, daß 2x²+2x-4=0 zu einem falschen Ergebnis führt.
Was meinst Du mit falsch? Falsch im Vergleich zum (falschen) Derive, oder was?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:47 Fr 04.07.2008 | | Autor: | Zuggel |
>
> > Der restliche Rechenweg von mir ist jedoch korrekt
> > (Rechenschritte sind jetzt mehrmals überprüft), ich fühle
> > mich nur beim Weg selbst unsicher ob ich nicht doch etwas
> > übersehen habe...
>
> Hallo,
>
> grob drüberschauend kam mir Dein Tun nicht unvernünftig
> vor.
>
> Ich vermisse allerdings die Mitteilung der Punkte, die Du
> errechnet hast.
>
> Du sagst bloß, daß 2x²+2x-4=0 zu einem falschen Ergebnis
> führt.
>
> Was meinst Du mit falsch? Falsch im Vergleich zum
> (falschen) Derive, oder was?
>
> Gruß v. Angela
>
>
Neuer Tag neues Glück. Habs heute nochmal gecheckt, ich hatte glaube ich gestern wohl doch einen Tippfehler gemacht.
Mit:
2x²+2x-4=0
Sind die Lösungen:
P(1,-1,0)
P(-2,2,0)
Dabei mit der Distanz: P1 = 1+1+0 = 2 =: d², damit die Distanz: [mm] \wurzel(2)
[/mm]
P2: 4+4+0= 8 := d², damit die Distanz: [mm] \wurzel(8)
[/mm]
Somit haben wir einen Maximalen Abstanz von [mm] \wurzel(8) [/mm] für P(1,-1,0) und einen Minimalen Abstand mit [mm] \wurzel(2) [/mm] für P(-2,2,0).
DIe Aufgabe wäre somit komplett gelöst, andere Untersuchungsmethoden fallen hierbei aus, da ja nur die Extremwerte auf dem Rand gefragt sind und sonst nirgends.
Dankeschön
Wenn natürlich ein Fehler offensichtlich ist den ich übersehen habe dann bitte sagen :)
lg
Zuggel
|
|
|
|
