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Forum "Längen, Abstände, Winkel" - Max/Min Winkel
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Max/Min Winkel: Nachprüfung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:22 Sa 19.04.2008
Autor: inuma

Aufgabe
Die Gerade ga: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] r\vektor{3 \\ 4 \\ t} [/mm] schneidet die x-Achse in (3|0|0). Gibt es einen min. oder max. Winkel zwischen diesen Geraden? Wenn ja geben sie ihn an.

Hallo

Meine Problem steht jaschon da oben ^^

Also hier mein Ansatz und Lösungsidee

Ich nehmen die Formel:

[mm] \alpha [/mm] = arcos [mm] \bruch{(\vec{a} * \vec{b})}{ |\vec{a}| * |\vec{b}|} [/mm]

Meine Vektoren

zum einen natürlich [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ t} [/mm] und der andere müsste [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] sein, da die andere Gerade die z-Achse ist

Einsetzen in die Formel

[mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{3}{\wurzel{25+t²}} [/mm]  

(Die oberen beiden Vektoren werden ja skalarmultipluziert)

Wenn man t nun gegen unendlich streben lässt, (+/- ist egal , da es ja sowieso ² genommen wird) würde der untere Ausdruck immer größer werden. Arcos also immer kleiner und somit den cos immer größer.

Er nähert sich also 90  an überschreite sie aber nicht

Als BEweis mal mit 9999

[mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{3}{\wurzel{25+9999²}} [/mm]

[mm] \alpha [/mm] = 89.98°

somit ist der maximal Winkel etwas unter 90° bzw. er strebt gegen 90°

Jetzt zum min

Logischerweise wird der kleinste Windekl hier erreicht wenn unter dem Bruchstrich t so klein wie möglich ist bzw 0 beträgt, sodass nur 5 unter dem Bruchstrich steht.

[mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{3}{\wurzel{25+0²}} [/mm]

[mm] \alpha [/mm] = 53.13°

Ok das wären jetz meine Ideen dazu. Ich hoffe mal das sie richtig sind und bedanke mich jetzt schon für Hilfe.

MFG
inuma






        
Bezug
Max/Min Winkel: Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:38 Sa 19.04.2008
Autor: Loddar

Hallo inuma!


> Ich nehmen die Formel: [mm]\alpha[/mm] = arcos [mm]\bruch{(\vec{a} * \vec{b})}{ |\vec{a}| * |\vec{b}|}[/mm]

[ok]

  
> Meine Vektoren
>  
> zum einen natürlich [mm]\vektor{3 \\ 4 \\ t}[/mm] und der andere müsste [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] sein,
> da die andere Gerade die z-Achse ist

[ok] Du meinst aber die x-Achse.



> Einsetzen in die Formel
>  
> [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{3}{\wurzel{25+t²}}[/mm]  

Hier fehlt die Winkelfunktion!

Entweder:   [mm] $\red{\cos} [/mm] \ [mm] \alpha [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{\wurzel{25+t^2}}$ [/mm]

Oder:       [mm] $\alpha [/mm] \ = \ [mm] \red{\arccos}\left(\bruch{3}{\wurzel{25+t^2}}\right)$ [/mm]


> (Die oberen beiden Vektoren werden ja skalarmultipluziert)

[ok]

  
> Wenn man t nun gegen unendlich streben lässt, (+/- ist egal
> , da es ja sowieso ² genommen wird) würde der untere
> Ausdruck immer größer werden. Arcos also immer kleiner und
> somit den cos immer größer.
>  
> Er nähert sich also 90  an überschreite sie aber nicht
>  
> Als BEweis mal mit 9999
>  
> [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{3}{\wurzel{25+9999²}}[/mm]
>  
> [mm]\alpha[/mm] = 89.98°
>  
> somit ist der maximal Winkel etwas unter 90° bzw. er strebt
> gegen 90°

Die Überlegungen sind richtig. Aber dieser Winkel [mm] $\alpha_{\max}$ [/mm] wird ja nie erreicht, da es kein $t_$ gibt, um [mm] $\cos(\alpha) [/mm] \ = \ 0$ bzw. [mm] $\alpha [/mm] \ = \ 90°$ zu erreichen.

Es existiert also kein maximaler Winkel [mm] $\alpha_{\max}$ [/mm] .

  
> Jetzt zum min
>  
> Logischerweise wird der kleinste Windekl hier erreicht wenn
> unter dem Bruchstrich t so klein wie möglich ist bzw 0
> beträgt, sodass nur 5 unter dem Bruchstrich steht.
>  
> [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{3}{\wurzel{25+0²}}[/mm]
>  
> [mm]\alpha[/mm] = 53.13°

[ok]


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Max/Min Winkel: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:43 Sa 19.04.2008
Autor: inuma

Vielen Dank

Tut mir leid, dass ich mich mit den Achsen vertan habe.

Danke, dass du mir das mit den 90 noch mal erklärt hast.

bis bald.
Bezug
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