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Max und Min unter Nebenbedingu: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:37 Di 13.02.2007
Autor: dbrust_2000

Aufgabe
Man bestimme den kleinsten und den größten Wert von f(x,y) = y - 2x für alle nichtnegativen x,y mit [mm] x\not=y [/mm] und [mm] \bruch{x^2 + y^2}{x+y}\le4 [/mm]

Hallo
obige Aufgabe stammt aus der ÖMO 2003. Habe bisher nur herausgefunden, dass die Nebenbedingung zu einer Kreisgleichung umgeformt werden kann: [mm] (y-2)^2 [/mm] + [mm] (x-2)^2 \le [/mm] 8. Die Funktion f stellt eine Ebene dar. Deswegen wird das Minimum und das Maximum am Rand des Kreises angenommen. Jetzt komme ich aber nicht weiter. Habe auch schon mit Lagrange-Ansatz gearbeitet. hilft mir aber auch nicht wirklich.

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://matheplanet.com/


        
Bezug
Max und Min unter Nebenbedingu: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:40 Di 13.02.2007
Autor: moudi

Hallo dbrust

Der Gradient der Funktion [mm] $(f_x,f_y)=(-2,1)$ [/mm] zeigt in die Richtung, in der die Funktion am meisten zunimmt.  Bei einem lokalen Extremum auf dem Rand, steht der Gradient senkrecht zum Rand.

Du musst nur vom Kreismittelpunkt aus in Richtung des Gradient gehen, bis zum Kreisrand. Das ist das Maximum. Der Entgegengesetzte Punkt auf dem Kreis ist dann das Minimum.

mfG Moudi

Bezug
                
Bezug
Max und Min unter Nebenbedingu: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:24 Do 15.02.2007
Autor: dbrust_2000

Hallo Moudi

Danke für deinen Hinweis. Habe allerdings noch ein kleines Problem.
Als Lösungen erhalte ich folgende Werte

x = [mm] \bruch{4\wurzel{10}}{5} [/mm] +2 und y = [mm] 2-\bruch{2\wurzel{10}}{5} [/mm]
oder
x = [mm] -\bruch{4\wurzel{10}}{5} [/mm] +2 und y = [mm] 2+\bruch{2\wurzel{10}}{5} [/mm]

Die erste Lösung ergibt tatsächlich den minimalen Wert. (habe ich durch Auflösen der Kreisgleichung nach y und einsetzen in f(x,y) mithilfe der Diffrechnung auch herausbekommen)
Die zweite Lösung ergibt ein negatives x, was nach Aufgabenstellung nicht erlaubt ist. (Wenn ich auch hier die Methoden der Diffrechnung mit einer Variablen anwende bekomme ich den maximalen Wert f(x,y) = 4.)

Meine Fragen:
1. kann man die Einschränkung auf positive x auch irgendwie mit den Methoden der mehrdim. Diffrechnung nachkommen
2. gibt es nicht noch eine elegantere Methode??

Bezug
                        
Bezug
Max und Min unter Nebenbedingu: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:42 Fr 16.02.2007
Autor: moudi

Hallo dbrust

Ich finde meine Methode sehr elegant. Der Rechenaufwand ist minimal, wenn man mal die Kreisgleichung hat.

Wenn man noch die Einschränkung x nicht negativ hat. Dann weiss man, dass man die Funktion eingeschränkt auf  denjenigen Teil der Kreislinie betrachten muss, dessen x-Koordinaten nicht negativ sind. Die absoluten Minima und Maxima auf der ganzen Kreislinie haben wir oben berechnet. Es stellt sich heraus, dass das Maximum ausserhalb des zu betrachtenden Teils der Kreislinie liegt. Dann muss Das Maximum bei einem der beiden Schnittpunkte mit der y-Achse sein (d.h. x=0). D.h. entweder x=0 und y=4 oder x=0 und y=0.

mfG Moudi

Bezug
                                
Bezug
Max und Min unter Nebenbedingu: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:51 Fr 16.02.2007
Autor: dbrust_2000

Hallo Moudi

vielen Dank für deine Bemühungen.

mfg
dbrust_2000

Bezug
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