Maxima unter Nebenbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 So 08.07.2007 | | Autor: | myo |
| Aufgabe | | Bestimmen sie [mm]max\{x^2+2xy+2y^2-2yz+z^2\}[/mm] unter der Nebenbedingung [mm]x^2+y^2+z^2 = 1[/mm] |
Hi!
Also das Funktionsprinzip wie ich das zu lösen habe ist mir klar und wie ich hierbei vorgehen muss, jedoch bekomm ich es einfach nicht hin das Gleichungssystem für alle Variablen auf Werte, ohne Abhängigkeiten zu anderen Variablen, aufzulösen.
Ich beschreibe mal meine Vorgehensweise:
Zuerst hab ich die Lagrange-Funktion aufgestellt
[mm]L(x,y,z,{\lambda}) = x^2+2xy+2y^2-2yz+z^2-{\lambda}(x^2+y^2+z^2-1)[/mm]
Dann die ersten Ableitungen davon
(i) [mm]L_x = 2x+2y-2{\lambda}x[/mm]
(ii) [mm]L_y = 2x+4y-2z-2{\lambda}y[/mm]
(iii) [mm]L_z = -2y+2z-2{\lambda}z[/mm]
und eben noch die Nebenbedingung ([mm]L_{\lambda}[/mm])
(iv) [mm]x^2+y^2+z^2-1[/mm]
Wenn ich nun (i) und (iii) nach y umforme
(i) [mm]y = -x+{\lambda}x[/mm]
(iii) [mm]y = z-{\lambda}z[/mm]
Und die beiden Gleichungen dann gleichsetze erhalte ich
[mm]x = -z[/mm]
Was mir ja aber unter Hinsicht auf die Nebenbedingung nicht viel bringt. Denn wenn ich das nun in die Nebenbedingung einsetze erhalte ich ja [mm]z^2+y^2+z^2-1[/mm] weil wenn ich das [mm]x[/mm] durch [mm]-z[/mm] ersetze erhalte ich ja wieder ein z, weil das ganze dort ja quadriert wird, also fällt z leider nicht raus, sodass ich mal einen Wert für y erhalten würde mit dem ich weitermachen kann. Ich habe dann nur y wieder in Abhängigkeit von z.
Wenn ich (i) nach x Auflöse [mm]x = \bruch{-2y}{-2{\lambda}+2}[/mm] und (iii) nach z [mm]z = \bruch{2y}{-2{\lambda}+2}[/mm] sehe ich ja auch das [mm]x = -z[/mm], aber habe ja dann immer noch [mm]\lambda[/mm] und y drin...
Hab nun schon unzählige Umformungen gemacht und bekomme es einfach nicht hin auch nur mal für eine Variable einen Wert herauszubekommen.
Kann mir vielleicht mal jemand einen kleinen Tipp geben was ich denn anstellen oder machen könnte um mal für einen Variable einen Wert herauszufinden? Ich weiss ja schon wie es funktioniert, aber habe einfach meine Schweirigkeiten mit dem Gleichungssystem
Gruß
myo
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum oder auf anderen Internetseiten gestellt/gepostet
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 So 08.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo myo,
> (i) [mm]L_x = 2x+2y-2{\lambda}x[/mm]
> (ii) [mm]L_y = 2x+4y-2z-2{\lambda}y[/mm]
> (iii) [mm]L_z = -2y+2z-2{\lambda}z[/mm]
> und eben noch die Nebenbedingung ([mm]L_{\lambda}[/mm])
> (iv) [mm]x^2+y^2+z^2-1[/mm][/mm]
Das sind 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten.
> Und die beiden Gleichungen dann gleichsetze erhalte ich
> [mm]x = -z[/mm]
Ja, aber nur unter der Voraussetzung, dass [mm]\lambda \not=1[/mm]. Wenn wir das für den Moment mal annehmen (siehe unten), kannst du [mm]x[/mm] aus (ii) und (iii) eliminieren und bekommst dann [mm]\lambda*(y +2 z)=0[/mm], also [mm]\lambda=0[/mm] oder [mm]y=-2z[/mm]. Das in (iii) eingesetzt ergibt [mm](\lambda-3)*z=0[/mm], also [mm]z=0[/mm] oder [mm]\lambda=3[/mm]. [mm]z=0[/mm] verletzt die Nebenbedingung, also bleibt [mm]\lambda=3[/mm]. Das kannst du in die Nebenbedingung einsetzen und lösen.
Für die Fälle [mm]\lambda=0[/mm] oder [mm]\lambda=1[/mm] setzt du am Einfachsten [mm]\lambda[/mm] in (i)-(iii) ein und löst das entstehende Gleichungssystem.
Du kannst es dir aber auch etwas einfacher machen: (i),(ii),(iii) bilden ein lineares Gleichungssystem der Form
[mm] \begin{pmatrix}
2 -2 \lambda & 2 & 0 \\
2 & 4 -2\lambda & -2 \\
0 & -2 & 2-2 \lambda
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]. Das hat nur die Lösung [mm]x=0,y=0,z=0[/mm], wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich 0 ist. Das ist aber keine Lösung deines Problems, weil es die Nebenbedingung verletzt. Das heisst, dass Lösungen nur existieren für [mm] 0=
\begin{vmatrix}
2 -2 \lambda & 2 & 0 \\
2 & 4 -2\lambda & -2 \\
0 &-2 & 2-2 \lambda
\end{vmatrix} = 8*\lambda*(-\lambda^2+4\lambda-3)[/mm].
Da hast du dann deine drei möglichen Werte von [mm]\lambda[/mm], die du in (i)-(iii) der Reihe nach einsetzen kannst.
Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 So 08.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Nachtrag:
Die Lagrangefunktion lässt sich noch vereinfachen:
[mm]L(x,y,z,{\lambda}) = x^2+2xy+2y^2-2yz+z^2-{\lambda}(x^2+y^2+z^2-1) = 2xy+y^2-2yz +1 - (\lambda-1)(x^2+y^2+z^2-1)[/mm].
Durch die Substitution [mm]\mu=\lambda-1[/mm] ergibt sich ein einfacheres Gleichungssystem.
Grüße
Rainer
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