Maximalen x-Wert berechnen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimme das maximale $p>0$, sodass die zwei Punkte $(-p / 2,1) , (p / 2,1)$ durch eine Funktion [mm] f(x)=\alpha\cosh\left(\frac{x}{\alpha}\right) [/mm] verbunden werden können mit einem optimalen [mm] \alpha>0. [/mm] |
Hallo,
also Tip ist noch gegeben, dass die Gleichung [mm] \coth(x)=x [/mm] ungefähr die Lösung 1,1997 hat.
Also die Situation ist ja die folgende, je größe mein [mm] \alpha [/mm] wird, desto "bauchiger" wird meine Funktion, allerdings desto höher wird auch der Scheitel und ich kann irgendwann nicht mehr durch die Punkte der Höhe 2,1.
Ich habe ja zum einen die Bedingung f(p)=2,1 und mein p muss maximal werden. Also muss ich wohl irgendetwas als Funktion von p auffassen und danach differenzieren!? Leider fehlt mir dazu die genaue Idee. Ich komme auch nicht auf die im Tipp angegebene Gleichung.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:52 Do 14.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Bestimme das maximale [mm]p>0[/mm], sodass die zwei Punkte [mm](-p / 2,1) , (p / 2,1)[/mm]
> durch eine Funktion
> [mm]f(x)=\alpha\cosh\left(\frac{x}{\alpha}\right)[/mm] verbunden
> werden können mit einem optimalen [mm]\alpha>0.[/mm]
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> Hallo,
>
> also Tip ist noch gegeben, dass die Gleichung [mm]\coth(x)=x[/mm]
> ungefähr die Lösung 1,1997 hat.
> Also die Situation ist ja die folgende, je größe mein
> [mm]\alpha[/mm] wird, desto "bauchiger" wird meine Funktion,
> allerdings desto höher wird auch der Scheitel und ich kann
> irgendwann nicht mehr durch die Punkte der Höhe 2,1.
>
> Ich habe ja zum einen die Bedingung f(p)=2,1 und mein p
> muss maximal werden. Also muss ich wohl irgendetwas als
> Funktion von p auffassen
Umgekehrt! Das maximal möglich p erreichst du in Abhängigkeit von einem günstig gewählten a.
Stelle also p in Abhängigkeit von a dar.
Dazu musst du zunächst herausfinden, für welche x (bei vorerst festem a) der y-Wert gerade 2,1 ist. (Umkehrfunktion!)
Gruß Abakus
> und danach differenzieren!? Leider
> fehlt mir dazu die genaue Idee. Ich komme auch nicht auf
> die im Tipp angegebene Gleichung.
>
> Viele Grüße
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:12 Do 14.10.2010 | | Autor: | XPatrickX |
Hallo Abakus
> > Bestimme das maximale [mm]p>0[/mm], sodass die zwei Punkte [mm](-p / 2,1) , (p / 2,1)[/mm]
> > durch eine Funktion
> > [mm]f(x)=\alpha\cosh\left(\frac{x}{\alpha}\right)[/mm] verbunden
> > werden können mit einem optimalen [mm]\alpha>0.[/mm]
> >
> > Hallo,
> >
> > also Tip ist noch gegeben, dass die Gleichung [mm]\coth(x)=x[/mm]
> > ungefähr die Lösung 1,1997 hat.
> > Also die Situation ist ja die folgende, je größe mein
> > [mm]\alpha[/mm] wird, desto "bauchiger" wird meine Funktion,
> > allerdings desto höher wird auch der Scheitel und ich kann
> > irgendwann nicht mehr durch die Punkte der Höhe 2,1.
> >
> > Ich habe ja zum einen die Bedingung f(p)=2,1 und mein p
> > muss maximal werden. Also muss ich wohl irgendetwas als
> > Funktion von p auffassen
> Umgekehrt! Das maximal möglich p erreichst du in
> Abhängigkeit von einem günstig gewählten a.
> Stelle also p in Abhängigkeit von a dar.
> Dazu musst du zunächst herausfinden, für welche x (bei
> vorerst festem a) der y-Wert gerade 2,1 ist.
> (Umkehrfunktion!)
Also sei [mm] \alpha [/mm] fest, dann gilt genau für die x mit [mm] x=\alpha \mathrm{arcosh}\left(\frac{2,1}{\alpha}\right), [/mm] dass f(x)=2,1
Ebenso gilt ja auch für [mm] p=p(\alpha)=\alpha \mathrm{arcosh}\left(\frac{f(x)}{\alpha}\right)
[/mm]
Hmmm... Wie komme ich nun weiter?
> Gruß Abakus
>
> > und danach differenzieren!? Leider
> > fehlt mir dazu die genaue Idee. Ich komme auch nicht auf
> > die im Tipp angegebene Gleichung.
> >
> > Viele Grüße
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 17:45 Do 14.10.2010 | | Autor: | XPatrickX |
Hallo,
ist es evtl. richtig, dass ich also einfach die Funktion
[mm] $$p(a)=a\mathrm{arcosh}\left(\frac{2,1}{a}\right) [/mm] $$
und da ich mein p möglichst groß haben will, suche ich einen Extrempunkt der Funktion, leite diese also nach $a$ ab.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:13 Do 14.10.2010 | | Autor: | XPatrickX |
Das Thema kann als erledigt gekennzeichnet werden. Danke.
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