Maximaler Flächeninhalt... < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeneb ist die Funktion f(x) = -x²+9 . die Punkte A(-u|0), B(u|0), C(u|f(u)) und D(-u|f(-u)) mit 0<u<3 bilden ein Rechteck.
a) Berechne, für welchen Wert von u der Flächeninhalt des Rechtecks maximal wird!
b) Brechne, für welchen Wert von u der Umfang des Rechtecks maximal wird! |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
![[]](/images/popup.gif) http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/286035,0.html?sid=fa1ecefaca977e04b3b7de13cc0f1c29
Hallo liebe Leute,
ich habe arge Probleme mit dieser Aufgabe und weiß vorne und hinten nicht wie ich beginnen soll. Es scheint mir als würden eckdaten fehlen, denn so kann ich irgendwie nichts damit machen.
Die Fläche muss ja eigentlich Strecke AB*BC sein, aber ich habe ja nur Koordinaten...
Bitte helft mir, ich verzweifel noch daran. :/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Di 20.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gegeneb ist die Funktion f(x) = -x²+9 . die Punkte
> A(-u|0), B(u|0), C(u|f(u)) und D(-u|f(-u)) mit 0<u<3 bilden
> ein Rechteck.
>
> a) Berechne, für welchen Wert von u der Flächeninhalt des
> Rechtecks maximal wird!
>
> b) Brechne, für welchen Wert von u der Umfang des
> Rechtecks maximal wird!
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/286035,0.html?sid=fa1ecefaca977e04b3b7de13cc0f1c29
>
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> Hallo liebe Leute,
>
> ich habe arge Probleme mit dieser Aufgabe und weiß vorne
> und hinten nicht wie ich beginnen soll.
:
Mal Dir ein Bild: den Graphen von f und das Rechteck. Dann siehst Du hoffentlich, dass der Inhalt A(u) des Rechtecks gegeben ist durch
A(u)=2uf(u)
Diese Funktion sollst Du maximieren.
Verfahre bei b) ähnlich.
FRED
> Es scheint mir als
> würden eckdaten fehlen, denn so kann ich irgendwie nichts
> damit machen.
> Die Fläche muss ja eigentlich Strecke AB*BC sein, aber
> ich habe ja nur Koordinaten...
> Bitte helft mir, ich verzweifel noch daran. :/
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Bild habe ich vor mir, aber das hilft mir irgendwie nicht weiter. Auch A(u)=2uf(u) sagt mir nichts.
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Hallo,
> Bild habe ich vor mir, aber das hilft mir irgendwie nicht
> weiter. Auch A(u)=2uf(u) sagt mir nichts.
Das kommt von der Rechtecksflächeninhaltsformel Höhe (entspricht f(u)=f(-u)) mal Breite (2u in x Richtung).
Bestimme nun mit Differentialrechnung Extrempunkte und weise nach, dass es sich bei dem gefundenen lokalen Maximum auch um ein globales handelt.
LG
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Das einzige was ich kann ist die erste Ableitung und da käme für x dann 4,5 raus. Ich weiß aber nicht wozu ich das mache und was ich dann mit 4,5=x soll? Könnt ihr mir nicht einfach erklären was ich genau machen muss? Bei diesen ganzen f() blicke ich überhaupt nicht durch.
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Hallo, zunächst mal die Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
du erkennst den Punkt C(u;f(u)), die rote Strecke u entspricht der halben Länge vom Rechteck, die grüne Strecke f(u) entspricht der Breite vom Rechteck
A=2*u*f(u)
[mm] A=2*u*(-u^{2}+9)
[/mm]
[mm] A=-2u^{3}+18u
[/mm]
jetzt 1. Ableitung bilden, Extremwertbetrachtung machen
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Also ich habe jetzt folgendes gemacht:
f(A)=2*u*f(u)
f(A)=2*u*(-u²+9)
[mm] f(A)=-2u^3+18u
[/mm]
f'(A)=-6u²+18
0=-6u²+18 |:(-6)
0=u²-3 |+3
3=u² |sqrt
u=1,73 v u=-1,73
A=2*u*(-u²+9)
A=2*1,73*(-1,73²+9)
A=20,78
Fehlt da jetzt noch was bzw. ist das bisher richtig? :S
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:03 Mi 21.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Also ich habe jetzt folgendes gemacht:
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> f(A)=2*u*f(u)
> f(A)=2*u*(-u²+9)
> [mm]f(A)=-2u^3+18u[/mm]
> f'(A)=-6u²+18
> 0=-6u²+18 |:(-6)
> 0=u²-3 |+3
> 3=u² |sqrt
> u=1,73 v u=-1,73
>
> A=2*u*(-u²+9)
> A=2*1,73*(-1,73²+9)
> A=20,78
>
> Fehlt da jetzt noch was bzw. ist das bisher richtig? :S
Das ist korrekt. Zeige aber noch, dass du bei [mm] x=\sqrt{3} [/mm] einen Hochpunkt hast (Vorzeichenwechselkriterium oder 2. Ableitung)
Ausserdem ist deine Schreibweise f(A) so nicht korrekt.
Besser wäre:
A(u), also der Flächeninhalt in Abhängigkeit von u.
Für den Umfang U gilt:
$ [mm] U(u)=2\cdot2u+2\cdot f(u)=\ldots [/mm] $
Marius
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Gut, ist das dann so richtig?:
A''(u)=-12u
[mm] A''(\wurzel{3})=-12*\wurzel{3}
[/mm]
[mm] A''(\wurzel{3})=-20,78 [/mm] < 0 [mm] \gdw [/mm] Hochpunkt
U(u)=4*u+2*f(u)
U(u)=4*u+2*(-u²+9)
U(u)=4*u-2u²+18
U(u)=4*1,73-2*1,73²+18
U(u)=18,93
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:05 Mi 21.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gut, ist das dann so richtig?:
>
> A''(u)=-12u
> [mm]A''(\wurzel{3})=-12*\wurzel{3}[/mm]
> [mm]A''(\wurzel{3})=-20,78[/mm] < 0 [mm]\gdw[/mm] Hochpunkt
>
> U(u)=4*u+2*f(u)
> U(u)=4*u+2*(-u²+9)
> U(u)=4*u-2u²+18
> U(u)=4*1,73-2*1,73²+18
hast Du für u den Wert [mm] \wurzel{3} [/mm] eingesetzt ? Wenn ja, warum ? Du bist doch mittlerweile bei einer neuen Aufgabe !!
Maximiere die Funktion [mm] $U(u)=4*u-2u^2+18$
[/mm]
FRED
> U(u)=18,93
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>
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