Maximales Ideal Körper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:12 Do 20.10.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Sei $R= [mm] \IF_{3}[x]$
[/mm]
a) Zeige, dass [mm] $I=(x^{2}+1)R$ [/mm] maximal ist.
b) Zeige, dass es einen Körper mit 9 Elementen gibt. |
Hallo!
b)
Vorrausetzung: [mm] $R=\IF_{3}[x]$
[/mm]
Behauptung: $R/I$ ist (1) ein Körper und (2) besitzt 9 Elemente
Beweis:
(2) Sei I = [mm] x^{2}+1 [/mm] . Dann ist $R/I = [mm] \{ p(x) + I | deg ( p(x) ) < 2 \} [/mm] = [mm] \{a+bx | a,b \in \IF_{3} \}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] |R/I| [mm] \le [/mm] 9$. Dabei sind alle Elemente von R/I paarweise verschieden, denn mit
$A(x)+I = B(x)+I , deg(A),deg(B) < 2
[mm] \Rightarrow [/mm] A(x)-B(x) + I = 0+I
[mm] \Rightarrow [/mm] A(x)-B(x) [mm] \in [/mm] I = [mm] x^{2}+1 [/mm]
[mm] \Rightarrow x^{2}+1| [/mm] A(x)-B(x) $
Widerspruch, da $deg(A(x)-B(x)) < 2$. Damit ist (2) gezeigt.
i) Die Kommutativität von R/I ist trivial, da alles in [mm] $\IF_{3}$ [/mm] liegt. Sei [mm] $(a_{0}+a_{1}x), (b_{0}+b_{1}x) \in [/mm] R/I$, dann
ii) [mm] $(a_{0}+a_{1}x)(b_{0}+b_{1}x) [/mm] = [mm] a_{0}b_{0}+a_{0}b_{1}x+a_{1}b_{0}x [/mm] + [mm] 2a_{1}b_{1} [/mm] = [mm] b_{0}a_{0} [/mm] + [mm] b_{0}a_{1}x+ b_{1}a_{0}x+2b_{1}a_{1} [/mm] = [mm] (b_{0}+b_{1}x)(a_{0}+a_{1}x)$
[/mm]
iii) Existenz des Inversen: [mm] $\forall x\ne [/mm] 0 [mm] \in [/mm] R/I \ [mm] \exists [/mm] x' [mm] \in [/mm] R/I : xx'=x'x=1$ diese sind: [mm] $1\cdot [/mm] 1 = 2 [mm] \cdot [/mm] 2 = x [mm] \cdot [/mm] 2x = (1+x)(2+x) = (1+2x)(2+2x) = 1$
Damit ist (1) gezeigt und mit (1) und (2) folgt die Behauptung.
a) Wenn $R/I$ ein Körper ist , dann ist I maximal und umgekehrt. Also ist [mm] $I=(x^{2}+1)R$ [/mm] maximal.
Wäre froh wenn jemand da drüberschauen kann und mir sagen kann obs so OK ist!
Vielen Dank.
Gruss
kushkush
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:21 Do 20.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]R= \IF_{3}[x][/mm]
>
> a) Zeige, dass [mm]I=(x^{2}+1)R[/mm] maximal ist.
>
> b) Zeige, dass es einen Körper mit 9 Elementen gibt.
Ich denke, die Reihenfolge von a) und b), die in der Aufgabenstellung angegeben ist, ist Absicht.
Sprich: du sollst erst zeigen, dass $I$ ein maximales Ideal ist, und dann damit folgern, dass es einen Koerper mit 9 Elementen gibt.
> Hallo!
>
>
> b)
>
> Vorrausetzung: [mm]R=\IF_{3}[x][/mm]
>
> Behauptung: [mm]R/I[/mm] ist (1) ein Körper und (2) besitzt 9
> Elemente
>
> Beweis:
>
> (2) Sei I = [mm]x^{2}+1[/mm] . Dann ist $R/I = [mm]\{ p(x) + I | deg ( p(x) ) < 2 \}[/mm]
> = [mm]\{a+bx | a,b \in \IF_{3} \}[/mm]
In der letzten Menge fehlt ein $+ I$.
> [mm]\Rightarrow[/mm] |R/I| [mm]\le[/mm] 9$.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dabei sind alle Elemente von R/I
> paarweise verschieden, denn mit
Du willst sagen: "Dabei sind alle Elemente $a + b x + I$, $a, b [mm] \in \IF_3$ [/mm] paarweise verschieden, denn mit"
> $A(x)+I = B(x)+I , deg(A),deg(B) < 2
> [mm]\Rightarrow[/mm] A(x)-B(x) + I = 0+I
> [mm]\Rightarrow[/mm] A(x)-B(x) [mm]\in[/mm] I = [mm]x^{2}+1[/mm]
Naja, $I$ ist nicht [mm] $x^2 [/mm] + 1$, sondern [mm] $(x^2 [/mm] + 1) R$
> [mm]\Rightarrow x^{2}+1|[/mm] A(x)-B(x) $
> Widerspruch, da [mm]deg(A(x)-B(x)) < 2[/mm]. Damit ist (2)
Das ist kein Widerspruch, sondern es folgt $A(x) - B(x) = 0$ und somit $A(x) = B(x)$.
> gezeigt.
>
> i) Die Kommutativität von R/I ist trivial, da alles in
> [mm]\IF_{3}[/mm] liegt. Sei [mm](a_{0}+a_{1}x), (b_{0}+b_{1}x) \in R/I[/mm],
> dann
Restklassenringe von kommutativen Ringen mit Eins sind immer kommutative Ringe mit Eins. Du brauchst da nichts nachzurechnen.
> ii) [mm](a_{0}+a_{1}x)(b_{0}+b_{1}x) = a_{0}b_{0}+a_{0}b_{1}x+a_{1}b_{0}x + 2a_{1}b_{1} = b_{0}a_{0} + b_{0}a_{1}x+ b_{1}a_{0}x+2b_{1}a_{1} = (b_{0}+b_{1}x)(a_{0}+a_{1}x)[/mm]
>
> iii) Existenz des Inversen: [mm]\forall x\ne 0 \in R/I \ \exists x' \in R/I : xx'=x'x=1[/mm]
> diese sind: [mm]1\cdot 1 = 2 \cdot 2 = x \cdot 2x = (1+x)(2+x) = (1+2x)(2+2x) = 1[/mm]
So kannst du es natuerlich auch machen.
> Damit ist (1) gezeigt und mit (1) und (2) folgt die
> Behauptung.
>
>
> a) Wenn [mm]R/I[/mm] ein Körper ist , dann ist I maximal und
> umgekehrt. Also ist [mm]I=(x^{2}+1)R[/mm] maximal.
>
>
> Wäre froh wenn jemand da drüberschauen kann und mir sagen
> kann obs so OK ist!
Das ist OK. Aber vermutlich nicht der eleganteste Weg.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:40 Do 20.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo!
Vielen Dank!!!
Gruss
kushkush
|
|
|
|
