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Forum "Extremwertprobleme" - Maximierung d. Schnittfläche
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Maximierung d. Schnittfläche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:36 Do 22.06.2006
Autor: Pompeius

Aufgabe
f(x) = [mm] ax^2 [/mm]

f2(x) = 1-  [mm] \bruch{1}{a} *x^2 [/mm]

Maximale Schittfäche für welches "a" ?

ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt.

hi leute ...

ich komm bei dieser aufgabe irgendwie nicht weiter ..

meine ansätze :

ich suche ja irgendwie sowas :  f(a) = A  ..  ich hoffe das stimmt ..

denn ich will ja gucken bei welchem "a" der flächeninhalt "A" am größten wird.

[mm] \integral_{a}^{b}{f2(x) dx} [/mm] -  [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = A

wär dann meine Zielfunktion ?!

also brauch ich ja jetzt die integrationsgrenzen .. welche ich durch das gleichsetzen der beiden funktionen erhalte..

erste grenze : 0
zweite grenze : x = (  1 -  [mm] \bruch{x^2}{a^2} [/mm] )^ [mm] \bruch{1}{2} [/mm]

ab hier komm ich nicht richtig weiter.. weiß auch nicht ob ich die funktionen jetzt nach a oder x integrieren muss ..

denn wenn ich die funktion f(a) = A kenne, dann brauch ich ja nur die ableitung bilden und a ausrechnen ...

vielen dank schon mal für die hilfe ....
        
Bezug
Maximierung d. Schnittfläche: Integrationsgrenzen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:51 Do 22.06.2006
Autor: Roadrunner

Hallo Pompeius!



> meine ansätze :
>  
> ich suche ja irgendwie sowas :  f(a) = A  ..  ich hoffe das
> stimmt ..

[ok]

  

> [mm]\integral_{a}^{b}{f2(x) dx}[/mm] -  [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] = A
>  
> wär dann meine Zielfunktion ?!

[ok] Auch richtig ...

  
> also brauch ich ja jetzt die integrationsgrenzen .. welche
> ich durch das gleichsetzen der beiden funktionen erhalte..

[ok]

  
> erste grenze : 0

Wie kommst Du auf diese? Aus Symmetriegründen darfst Du später gerne mit der unteren Grenze $0_$ arbeiten. Bedenke aber, dass Du dann auch nur die halbe Fläche betrachtest.


> zweite grenze : x = (  1 -  [mm]\bruch{x^2}{a^2}[/mm] )^[mm]\bruch{1}{2}[/mm]

[notok] In der Lösung für $x_$ darf auf der anderen Seite kein $x_$ mehr auftreten.

[mm] $a*x^2 [/mm] \ = \ [mm] 1-\bruch{1}{a}*x^2$ [/mm]

[mm] $a*x^2+\bruch{1}{a}*x^2 [/mm] \ = \ [mm] x^2*\left(a+\bruch{1}{a}\right) [/mm] \ = \ [mm] x^2*\bruch{a^2+1}{a} [/mm] \ = \ 1$

Kannst Du nun weiter nach $x \ = \ ...$  auflösen?


> ab hier komm ich nicht richtig weiter.. weiß auch nicht ob
> ich die funktionen jetzt nach a oder x integrieren muss ..

Eindeutig nach $x_$ ... schließlich wollen wir anschließend noch ein $a_$ haben ;-) ...


> denn wenn ich die funktion f(a) = A kenne, dann brauch ich
> ja nur die ableitung bilden und a ausrechnen ...

[ok] Zur Vereinfachung der Ableitung darfst Du auch gerne die Ersatzfunktion $f(a) \ = \ [mm] \left[ \ A(a) \ \right]^2$ [/mm] betrachten, da hierdurch einige häßliche Wurzelausdrücke umgangen werden.


Gruß vom
Roadrunner

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