Maximierung eines Rechtecks < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 Fr 17.09.2010 | | Autor: | smally |
| Aufgabe | | Aus einem 80x60 Rechteck ist eine Dreieck 20 (80iger Seite) und 30 (60iger Seite) entfernt worden. Maximiere den Flächeninhalt eines Rechtecks im verbliebenen Rechteck |
Ich bin eigentlich auf alles gekommen, die gerade zu bestimmen (y=ax+b) und dann einsetzen (A=(80-y)(60-x)) und dann ableiten. Aber ich komme immer nur auf -75 für x, wo mache ich meinen Fehler?
A(x)=(80-(-2/3x+20))(60-x)
A(x)/dx=-4/3x-100
x=-75
Wenn ich das Vorzeichen wechsle und die 60 von x abziehe komme ich, denke ich, aufs richtige Ergebnis x=15 und y müsste dann 10 sein, womit der max. A =45x70=3150 sein dürfte. Aber ich würde das auch gerne mathematisch nachvollziehen können ;)
Vielen Dank im Voraus an alle Helfer
PS:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:35 Fr 17.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Aus einem 80x60 Rechteck ist eine Dreieck 20 (80iger Seite)
> und 30 (60iger Seite) entfernt worden.
Was genau soll das bedeuten ?
> Maximiere den Flächeninhalt eines Rechtecks im verbliebenen Rechteck
Auch das ist nicht zu verstehen.
Teile bitte den Origanalwortlaut der Aufgabe mit.
FRED
>
> Ich bin eigentlich auf alles gekommen, die gerade zu
> bestimmen (y=ax+b) und dann einsetzen (A=(80-y)(60-x)) und
> dann ableiten. Aber ich komme immer nur auf -75 für x, wo
> mache ich meinen Fehler?
>
> A(x)=(80-(-2/3x+20))(60-x)
> A(x)/dx=-4/3x-100
> x=-75
>
> Wenn ich das Vorzeichen wechsle und die 60 von x abziehe
> komme ich, denke ich, aufs richtige Ergebnis x=15 und y
> müsste dann 10 sein, womit der max. A =45x70=3150 sein
> dürfte. Aber ich würde das auch gerne mathematisch
> nachvollziehen können ;)
>
> Vielen Dank im Voraus an alle Helfer
>
>
> PS:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:48 Fr 17.09.2010 | | Autor: | smally |
Tut mir leid, dann werde ich die Aufgabe mal ein bisschen präzisieren:
Aus einem Rechteck mit den Seitenlängen 80cm und 60cm wird ein Dreieck mit den Schenkellängen 20cm und 30cm entfernt.
Aus dem verbliebenen abgeschnittenen Rechteck soll ein weiteres Rechteck mit maximalem Flächeninhalt herausgetrennt werden.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Fr 17.09.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo smally,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Aus einem 80x60 Rechteck ist eine Dreieck 20 (80iger Seite)
> und 30 (60iger Seite) entfernt worden. Maximiere den
> Flächeninhalt eines Rechtecks im verbliebenen Rechteck
Das Dreieck ist also (siehe deine untere Rechnung) in der linken unteren Ecke des Rechtecks angebracht.
> Ich bin eigentlich auf alles gekommen, die gerade zu
> bestimmen (y=ax+b) und dann einsetzen (A=(80-y)(60-x)) und
> dann ableiten. Aber ich komme immer nur auf -75 für x, wo
> mache ich meinen Fehler?
>
> A(x)=(80-(-2/3x+20))(60-x)
> A(x)/dx=-4/3x-100
Die Ableitung ist meiner Meinung nach falsch, sie müsste [mm] $A'(x)=-20-\frac43 [/mm] x$ lauten. DIeser Rechenfehler ändert aber nicht daran, dass...
> x=-75
... die Nullstelle der ersten Ableitung negativ ist und damit außerhalb des Definitionsbereichs liegt.
> Wenn ich das Vorzeichen wechsle und die 60 von x abziehe
> komme ich, denke ich, aufs richtige Ergebnis x=15 und y
> müsste dann 10 sein, womit der max. A =45x70=3150 sein
> dürfte. Aber ich würde das auch gerne mathematisch
> nachvollziehen können ;)
Das Problem ist hier, dass man nicht unbedingt an einem lokalen Maximum der Funktion interessiert ist, sondern am globalen. Ein lokales Maximum ist ja nur ein "Hügel" des Funktionsgraphen, es kann aber durchaus ja noch größere Funktionswerte geben an anderen Stellen geben. Das scheint hier der Fall zu sein.
Um das globale Maximum zu bestimmen, müssen auch die Funktionswerte am Rand des Definitionsbereichs der Funktion untersucht werden. Ein globales Maximum ist nämlich ein Funktionswert am Rand des Definitionsbereichs oder ein lokales Maximum, je nachdem, welcher Funktionswert der größte ist.
Kommst du mit diesen Tipps weiter? Falls nicht, frage bitte nach 
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Fr 17.09.2010 | | Autor: | smally |
Danke Marc,
der Fehler ist mir noch gar nicht aufgefallen, somit komme ich dann auf -15, dies jedoch in die Gleichung eingesetzt ergibt, wenn ich mich nicht wieder verrechnet habe 30 was ja auch ausserhalb des Wertebereichs liegt.
Zu deinem Tip: Ich dachte immer neg. Parabeln haben nur ein Maximum und das ist dann Lokal und Global, aber ich muss gestehen, dass ich da vielleicht noch ein wenig Hilfe von dir benötige um es zu verstehen ;)
Aber ganz herzlichen Dank für deine Hilfe
smally
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Fr 17.09.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Danke Marc,
> der Fehler ist mir noch gar nicht aufgefallen, somit komme
> ich dann auf -15, dies jedoch in die Gleichung eingesetzt
> ergibt, wenn ich mich nicht wieder verrechnet habe 30 was
> ja auch ausserhalb des Wertebereichs liegt.
Das habe ich jetzt mal nicht nachgerechnet.
>
> Zu deinem Tip: Ich dachte immer neg. Parabeln haben nur ein
> Maximum und das ist dann Lokal und Global, aber ich muss
> gestehen, dass ich da vielleicht noch ein wenig Hilfe von
> dir benötige um es zu verstehen ;)
Im Prinzip hast du ja Recht, hier hast du aber einen durch die Aufgabe vorgegebenen Definitionsbereich für x, der eingeschränkt ist, so dass das globale Maximum/der Scheitelpunkt der "Globalparabel" nicht in diesen Def-Bereich hineinfällt. Also ist dein für dich relevantes Maximum dann am Rand deines Definitionsintervalles.
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> Aber ganz herzlichen Dank für deine Hilfe
>
> smally
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 Fr 17.09.2010 | | Autor: | fred97 |
Nachdem nun auch ich die Aufgabe verstanden habe, hoffe ich, dass ich mich nicht verrechnet habe.
Zu maximieren ist die Funktion
$A(x)= [mm] (60+\bruch{2}{3}x)(60-x)= 3600-20x-\bruch{2}{3}x^2$
[/mm]
auf dem abgeschlossenen Intervall $[0, 30]$
Die Funktion A hat Nullstellen in x= -90 und x=60. An der Stelle x=-15 hat A sein absolutes Maximum.
Zeichnet man den Graphen von A, so sieht man:
die Funktion A nimmt im Intervall $[0, 30]$ an der Stelle x=0 ihren größten Wert an. Der max. Flächeninhalt ist dann: A(0) =3600.
Die Situation ist also so, wie Marc sie beschrieben hat,
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Fr 17.09.2010 | | Autor: | smally |
Danke dir Fred,
dass habe ich glaube ich soweit verstanden,
aber muss man denn Graphen dafür zeichnen um zu sehen das bei 0 der höchste wert ist, oder gibt es da auch einen rechnerischen Weg?
Viele Grüße
Smally
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Fr 17.09.2010 | | Autor: | fred97 |
Die Funktion
$ A(x)= [mm] (60+\bruch{2}{3}x)(60-x)= 3600-20x-\bruch{2}{3}x^2 [/mm] $
ist im Intervall $[-15, [mm] \infty)$ [/mm] streng monoton fallend.
Dazu zeige: $A'(x)<0$ für x [mm] \ge [/mm] -15.
Daher nimmt sie im Intevall [0, 30] ihren größten Wert in x=0 an.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:44 Fr 17.09.2010 | | Autor: | smally |
Ich wollte mich bei allen die mir geholfen haben mein Schulwissen wieder aufzufrischen ganz herzlich für die schnelle und informative Hilfe bedanken.
Gruß smally
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Fr 17.09.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo Smally,
> dass habe ich glaube ich soweit verstanden,
>
> aber muss man denn Graphen dafür zeichnen um zu sehen das
> bei 0 der höchste wert ist, oder gibt es da auch einen
> rechnerischen Weg?
Eine Zeichnung ist nicht nötig, es reicht, die Funktionswerte am Rand zu berechnen, also in deinem Fall:
f(0)=...
f(30)=...
Von diesen beiden nimmst du dann den größeren.
(Hättest du auch noch Nullstellen der ersten Ableitung im Definitionsbereich gefunden, dann erweiterst du diese Vorgehensweise:
f(linker Rand)=...
f(rechter Rand)=...
f(erste Nullstelle der 1. Ableitung)=...
f(zweite Nullstelle der 1. Ableitung)=...
f(usw.)=...
und wählst unter diesen den größten Funktionswert aus.
(Wenn der Definitionsbereich die Ränder nicht enthält, oder die Funktion Definitionslücken hat, dann ist diese Vorgehensweise entsprechend anzupassen.)
Fred97 Vorgehensweise ist natürlich auch richtig, aber umständlicher (insbesondere für Schüler): Dass die Funktion monoton innerhalb des Defintionsbereichs ist, folgt bereits aus deinen vorherigen Ergebnissen. Es geht also nur noch darum, zu entscheiden, ob die Funktion monoton wachsend oder fallend ist, und da ist die Berechnung zweier Funktionswerte im allgemeinen einfacher.
Viele Grüße,
Marc
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