Maximum-Likelihood-Schätzer < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Di 01.01.2008 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | | Seien [mm] (X_i)_{i\in\IN} [/mm] unabhängig und [mm] G_p-verteilt. [/mm] Berechnen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für p. |
Also ich habe mir das so gedacht :
[mm] \summe_{k\in\IN} p(1-p)^{k-1}
[/mm]
Darauf wende ich jetzt den Logarithmus an und erhalte:
[mm] \summe_{k\in\IN} [/mm] ln(p) + ln(1-p) (k-1)
Das setze ich 0 underhalte:
[mm] \bruch{ln(p)}{ln(1-p)}=\summe_{k\in\IN} [/mm] (k-1)
Aber dann komme ich nicht weiter.
Habe ich da überhaupt in die richtige Richtung gedacht?
Es wäre nett wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 Do 03.01.2008 | | Autor: | jumape |
Ok, danke erstaml für den Link!
Ich bin mir da aber immer noch nicht ganz sicher, ob ich das richtig mache:
Ich betrachte also das Produkt über die Verteilungen:
[mm] \produkt_{i=1}^{n}p(1-p)^{k_i-1}
[/mm]
= [mm] p(1-p)^{n\overline{k}-n}
[/mm]
Darauf wende ich jetzt den ln an und erhalte:
ln(p) + [mm] (n\overline{k} [/mm] -n) ln(1-p)
leite dies nach p ab und erhalte:
[mm] \bruch{1}{p} +\bruch{1}{1-p}(-1)(n\overline{k}-n)=
[/mm]
[mm] \bruch{1-p-pn-pn\overline{k}}{p-p^2}
[/mm]
Dies setze ich gleich 0 und erhalte für p:
[mm] p=\bruch{1}{1+n\overline{k}-n}
[/mm]
Da steckt aber leider noch das [mm] \overline{k} [/mm] drin und ich kann das auch nicht richtig interpretieren.
Es wäre nett wenn da nochmal jemand rüberschauen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:36 Do 03.01.2008 | | Autor: | luis52 |
> Ok, danke erstaml für den Link!
>
> Ich bin mir da aber immer noch nicht ganz sicher, ob ich
> das richtig mache:
> Ich betrachte also das Produkt über die Verteilungen:
> [mm]\produkt_{i=1}^{n}p(1-p)^{k_i-1}[/mm]
> = [mm]p(1-p)^{n\overline{k}-n}[/mm]
>
Hier hast du dich vertan. Es muss heissen:
[mm]\produkt_{i=1}^{n}p(1-p)^{k_i-1}= p^n(1-p)^{n\overline{k}-n}[/mm].
Aber es wird ja! 
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Do 03.01.2008 | | Autor: | jumape |
Danke,
dann habe ich also:
[mm] p^n(1-p)^{n\overline{k}-n}
[/mm]
wende den ln an:
n ln(p) + [mm] (n\overline{k}-n) [/mm] ln(1-p)
[mm] =\bruch{n-np+n-n\overline{k}}{p-p^2}
[/mm]
setze das 0 und erhalte:
[mm] 2n-np-n\overline{k}=0
[/mm]
[mm] p=2-\overline{k}
[/mm]
richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 Do 03.01.2008 | | Autor: | luis52 |
> Danke,
> dann habe ich also:
>
> [mm]p^n(1-p)^{n\overline{k}-n}[/mm]
>
> wende den ln an:
>
> n ln(p) + [mm](n\overline{k}-n)[/mm] ln(1-p)
> [mm]=\bruch{n-np+n-n\overline{k}}{p-p^2}[/mm]
>
>
> setze das 0 und erhalte:
> [mm]2n-np-n\overline{k}=0[/mm]
> [mm]p=2-\overline{k}[/mm]
>
> richtig?
>
Falsch!
Wird der Ausdruck
$n [mm] \ln(p) +(n\overline{k}-n)\ln(1-p)$
[/mm]
partiell nach p differenziert, so erhalte *ich*:
[mm]\bruch{n-np+np-np\overline{k}}{p-p^2}=\bruch{n-np\overline{k}}{p-p^2}[/mm].
Nullstelle dieser Funktion ist [mm] $\hat p=1/\bar [/mm] k$.
Vergiss nicht zu ueberpruefen (beispielsweise mit der 2. Ableitung), ob es sich
tatsaechlich um ein Maximum handelt.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Do 03.01.2008 | | Autor: | jumape |
Vielen Dank und ein gutes Jahr 2008.
vg jumape
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Ich finde im Internet (z.B. in Vorlesungsfolien, also nicht von Laien) zwei unterschiedliche Formeln für den ML-Schätzer der geometrischen Verteilung:
(1) [mm] \hat{p} [/mm] = [mm] \frac{1}{\bar{x}}
[/mm]
(2) [mm] \hat{p} [/mm] = [mm] \frac{1}{\bar{x}+1}
[/mm]
Welche ist richtig bzw., falls beide richtig sind, wann ist welche richtig und warum?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 Do 23.05.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin Euoplocephalus,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich finde im Internet (z.B. in Vorlesungsfolien, also nicht
> von Laien) zwei unterschiedliche Formeln für den
> ML-Schätzer der geometrischen Verteilung:
>
> (1) [mm]\hat{p}[/mm] = [mm]\frac{1}{\bar{x}}[/mm]
>
> (2) [mm]\hat{p}[/mm] = [mm]\frac{1}{\bar{x}+1}[/mm]
>
> Welche ist richtig bzw., falls beide richtig sind, wann ist
> welche richtig und warum?
Es kommt darauf an, welche geometrische Verteilung betrachtet wird. Im ersten Fall wird die Anzahl der Versuche *insgesamt* betrachtet, so dass die Werte [mm] 1,2,3,\dots [/mm] angenomme werden, im zweiten wird die Anzahl der Fehlversuche vor dem ersten Treffer betrachtet mit Werten [mm] 0,1,2,\dots. [/mm] Im ersten Fall resultiert (1), im zweiten (2).
vg Luis
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Danke, luis52 
Ein Beispiel:
Ich würfle fünf mal, jeweils bis ich eine Sechs habe. Die Sechs erhalte ich nach 2, 5, 7, 8 und 6 Würfen. Ich möchte die Wahrscheinlichkeit schätzen, mit diesem Würfen eine Sechs zu würfeln.
Die richtige Antwort ist [mm] \hat{p} [/mm] = [mm] \frac{1}{\bar{x}} [/mm] = 0.1785714
Warum?
Ich verstehe nicht, wie ich hier die "Anzahl der Fehlversuche vor dem ersten Treffer" (aus deiner Erklärung) ermitteln würde.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Fr 24.05.2013 | | Autor: | luis52 |
> Danke, luis52
>
Gerne.
> Ein Beispiel:
>
> Ich würfle fünf mal, jeweils bis ich eine Sechs habe. Die
> Sechs erhalte ich nach 2, 5, 7, 8 und 6 Würfen. Ich
> möchte die Wahrscheinlichkeit schätzen, mit diesem
> Würfen eine Sechs zu würfeln.
>
> Die richtige Antwort ist [mm]\hat{p}[/mm] = [mm]\frac{1}{\bar{x}}[/mm] =
> 0.1785714
>
> Warum?
>
> Ich verstehe nicht, wie ich hier die "Anzahl der
> Fehlversuche vor dem ersten Treffer" (aus deiner
> Erklärung) ermitteln würde.
Du erhaeltst die Sechs zuerst beim 2, 5, 7, 8 und 6 Wurf. Also gibt es 1, 4, 6, 7 und 5 Fehlversuche.
vg Luis
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Danke! Hab's verstanden.
Wenn ich von n mal Erfolg jeweils 1 abziehe und das durch n teile, habe ich insgesamt n/n = 1 vom Mittelwert der Erfolge substrahiert, und die addiere ich, wenn ich den Mittelwert der Fehler bilde:
[mm] \hat{p} [/mm] = [mm] \frac{1}{\frac{2+5+7+8+6}{5}} [/mm] = [mm] \frac{1}{\frac{1+4+6+7+5}{5} + 1} [/mm] = 0.1785714
Du bist ein Schatz
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http://www.mathematik.uni-ulm.de/stochastik/lehre/ss04/statistik1/skript/node25.html