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Forum "Statistik/Hypothesentests" - Maximum-Likelihood
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Maximum-Likelihood: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:49 Mi 12.07.2017
Autor: mimo1

Aufgabe
Es seien [mm] X_1,...,X_n [/mm] i.i.d Zufallsvariablen mit Verteilung [mm] P_{\theta} [/mm] zu einem unbekannten Parameter [mm] \theta \in\IN. [/mm] Für alle [mm] \theta\in\IN [/mm] sei dabei [mm] P_{\theta} [/mm] die Laplace Verteilung auf der Menge [mm] \{1,...,\theta\}. [/mm]

a) ZU einer Beobachtung [mm] (x_1,...,x_n) \in\IN^n [/mm] bestimme man einen Schätzwert [mm] T(x_1,...,x_n) [/mm] für [mm] \theta [/mm] nach dem Maximum-Likelihood-Methode.

b) Man berechne [mm] E(T(X_1)). [/mm] Ist der Schätzer [mm] T(X_1) [/mm] erwartungstreu für [mm] \theta? [/mm]

Guten Abend,

zu a) da Laplace Verteilung gilt für die Likelihoodfkt.
[mm] L(X_1,...,X_n|\theta)=\begin{cases} \bruch{1}{(\theta-1)^n}, & \mbox{für } \theta\in \{1,...,\theta\} \mbox{} \\ 0, & \mbox{sonst } \mbox{ } \end{cases} [/mm]

Da die Fkt. monoton fällt muss der Schätzer [mm] \hat{\theta}=max\{X_1,...,X_n\} [/mm]

b) [mm] E(T(X_1))=\integral_{1}^{\theta}x\bruch{1}{\theta}=\bruch{1}{2}(\theta+1) [/mm]

Stimmt, soweit alles? Vielen Dank im Voraus.

        
Bezug
Maximum-Likelihood: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:13 Do 13.07.2017
Autor: luis52

Moin,

> Es seien [mm]X_1,...,X_n[/mm] i.i.d Zufallsvariablen mit Verteilung
> [mm]P_{\theta}[/mm] zu einem unbekannten Parameter [mm]\theta \in\IN.[/mm]
> Für alle [mm]\theta\in\IN[/mm] sei dabei [mm]P_{\theta}[/mm] die Laplace
> Verteilung auf der Menge [mm]\{1,...,\theta\}.[/mm]
>
> a) ZU einer Beobachtung [mm](x_1,...,x_n) \in\IN^n[/mm] bestimme man
> einen Schätzwert [mm]T(x_1,...,x_n)[/mm] für [mm]\theta[/mm] nach dem
> Maximum-Likelihood-Methode.
>  
> b) Man berechne [mm]E(T(X_1)).[/mm] Ist der Schätzer [mm]T(X_1)[/mm]
> erwartungstreu für [mm]\theta?[/mm]



>  Guten Abend,
>  
> zu a) da Laplace Verteilung gilt für die Likelihoodfkt.
>  [mm]L(X_1,...,X_n|\theta)=\begin{cases} \bruch{1}{(\theta-1)^n}, & \mbox{für } \theta\in \{1,...,\theta\} \mbox{} \\ 0, & \mbox{sonst } \mbox{ } \end{cases}[/mm]

[notok]
In der Likelihoodfunktion sehe ich keinerlei Abhaengigkeit von [mm] $X_1,\dots,X_n$. [/mm]
Wie kommst du auf [mm] $\bruch{1}{(\theta-1)^n}$? [/mm]
Die Schreibweise [mm] $\theta\in \{1,...,\theta\}$ [/mm] ergibt keinen Sinn.

>  
> Da die Fkt. monoton fällt muss der Schätzer  [mm]\hat{\theta}=max\{X_1,...,X_n\}[/mm]

Verstehe ich nicht.

>  
> b)
> [mm]E(T(X_1))=\integral_{1}^{\theta}x\bruch{1}{\theta}=\bruch{1}{2}(\theta+1)[/mm]

[notok] [mm] $T(X_1)$ [/mm] ist diskret verteilt.
Wenn schon falsch, dann korrekt falsch: [mm] $\integral_{1}^{\theta}x\bruch{1}{\theta}\,\red{dx}$. [/mm]



Bezug
                
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Maximum-Likelihood: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:53 Do 13.07.2017
Autor: mimo1

Hallo,

ich meinte natürlich [mm] x_i\in\{1,...,\theta\}. [/mm] (Das lag wahrscheinlich an der späten Uhrzeit.)

Ich habe mir folgend überlegt, dass die Dichte der Gleichverteilung folgend definiert ist

[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{b-a}, & \mbox{für } a\le x\le b \mbox{ } \\ 0, & \mbox{sonst } \mbox{ } \end{cases} [/mm]

also haben wir in unserem Fall, wenn ich das Intervall  [mm] [1,\theta] [/mm] (ich bin mir nicht sicher, ob ich es machen darf) nehme, folgende Dichtefunktion


[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{\theta-1}, & \mbox{für } x\in \{1,...,\theta\}\\ 0, & \mbox{sonst } \mbox{ } \end{cases} [/mm]

dann haben wir für die Likelihoodfunktion

[mm] L(x_1,...,x_n|\theta)=\begin{cases} \bruch{1}{(\theta-1)^n}, & \mbox{für } x_i\in\{1,...,\theta\} \mbox{ } \\ 0, & \mbox{sonst } \mbox{ } \end{cases} [/mm]

oder ist das [mm] L=\bruch{1}{\theta^n}? [/mm]

b) dadurch das ich nicht [mm] T(X_1) [/mm] habe aus Teil a) kann ich da nciht weitermachen, oder?

also ich nehme mal  einfach [mm] E(T(X_1))=E(\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^nX_1)=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}E(X_1)=E(X_1) [/mm]

ich bin für jeden Tipp dankbar.

Bezug
                        
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Maximum-Likelihood: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:36 Do 13.07.2017
Autor: luis52

Du bist hier vollkommen auf dem Holzweg. Es gibt naemlich zwei Gleichverteilungen, die stetige und die diskrete. Letztere wird auch Laplace-Verteilung genannt. Fuer  [mm] $\theta\in\IN$ [/mm] ist deren Wahrscheinlichkeitsfunktion gegeben durch:

$ [mm] P(X=x)=\begin{cases} \dfrac{1}{\theta}, & \mbox{für } x\in \{1,...,\theta\} \mbox{;} \\ 0, & \mbox{sonst.} \mbox{ } \end{cases}$ [/mm]


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Maximum-Likelihood: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:19 Do 13.07.2017
Autor: mimo1

heißt das, dass die Likelihoodfunktion am Ende die folgende ist:

[mm] L(x_1,...,x_n|\theta)=\summe_{i=1}^{n}P(X_i=x_i)=\bruch{n}{\theta}? [/mm]



Bezug
                                        
Bezug
Maximum-Likelihood: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:55 Do 13.07.2017
Autor: luis52


> heißt das, dass die Likelihoodfunktion am Ende die
> folgende ist:
>  
> [mm]L(x_1,...,x_n|\theta)=\summe_{i=1}^{n}P(X_i=x_i)=\bruch{n}{\theta}?[/mm]
>  
>  

Nein.

Angenommen, es werden die Werte $3, 2, 5_$ beobachtet. Schreibe dafuer mal die Likelihoodfunktion auf.  



Bezug
                                                
Bezug
Maximum-Likelihood: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:01 Do 13.07.2017
Autor: mimo1

wäre dann für [mm] x_1=2, x_2=3, x_3=5 [/mm]
[mm] L(x_1,x_2,x_3|\theta)=P(X_1=2)*P(X_2=3)*P(X_3=5)=\bruch{1}{\theta^3} [/mm] die Likelihood-Funktion?

Bezug
                                                        
Bezug
Maximum-Likelihood: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:47 Do 13.07.2017
Autor: luis52

Nein:

$ [mm] L(X_1,...,X_n|\theta)=\begin{cases} \dfrac{1}{\theta^3}, & \mbox{für } \theta\ge\max \{2,3,5\} \mbox{;} \\ 0, & \mbox{sonst. } \mbox{ } \end{cases} [/mm] $

Allgemein ist [mm] $\hat\theta=\max \{X_1,\dots,X_n\} [/mm] $ der ML-Schaetzer.

Bezug
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