Maximum-Likelihood Pareto-Vert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Grundgesamtheit X besitze die Dichtefunktion
[mm] f(x)=\begin{cases}0, & \mbox{für } x\le{x_0} \mbox{} \\ \bruch{\alpha}{x_0}[\bruch{x_0}{x}]^{\alpha+1}, & \mbox{für } x>x_0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
die Pareto-Verteilung mit den Parametern [mm] x_0 [/mm] und [mm] \alpha (x_0 [/mm] > 0, [mm] \alpha [/mm] > 0). Der Parameter [mm] x_0 [/mm] werde als bekannt angenommen. Schätzen Sie den unbekannten Parameter [mm] \alpha
[/mm]
(a) nach der Maximum-Likelihood-Methode,
(b) nach der Momentenmethode, falls [mm] \alpha [/mm] > 1 ! |
Hallo allerseits, komme mit obigen Aufgaben nicht klar.
Zu a): [mm] x_0 [/mm] sei bekannt, [mm] \alpha [/mm] unbekannt -> [mm] \theta
[/mm]
[mm] L(x_1,...,x_n;\theta)=\produkt_{i=1}^{n}f(x_i;\theta)
[/mm]
-> [mm] ln(x_1,...,x_n;\theta)=\summe_{i=1}^{n}ln[\bruch{\theta}{x_0}(\bruch{x_0}{x})^{\theta+1}]
[/mm]
[mm] =\summe_{i=1}^{n}[ln\theta-lnx_0+(\theta+1)ln\bruch({x_0}{x})]
[/mm]
[mm] =nln\theta-nlnx_0+(\theta+1)\summe_{i=1}^{n}(\bruch{x_0}{x})
[/mm]
[mm] \bruch{\partial(lnL)}{\partial(\theta)}=\bruch{n}{\theta}-\summe_{i=1}^{n}(\bruch{x_0}{x})=0
[/mm]
Die Summe wird zu [mm] \summe_{i=1}^{n}x_i
[/mm]
Irgendwie scheint bei der Ableitung oder schon vorher beim Aufstellen etwas schief gegangen zu sein?
Weiter ginge es dann mit der 2ten partiellen Ableitung, um das Maximum zu bestimmen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:02 Di 15.12.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Daniel
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> [mm]\bruch{\partial(lnL)}{\partial(\theta)}=\bruch{n}{\theta}-\summe_{i=1}^{n}(\bruch{x_0}{x})=0[/mm]
>
Rechne nochmal nach. *Ich* erhalte hier
[mm]\bruch{\partial(lnL)}{\partial(\theta)}=\bruch{n}{\theta}-\summe_{i=1}^{n}\ln(\bruch{x_0}{x_i})=0[/mm].
vg Luis
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Guten Morgen luis52,
danke für deine Antwort und sorry, aber ich hatte die letzten Tage viel um die Ohren.
Ich glaube den Fehler in meiner Überlegung gefunden zu haben.
aus: [mm] ln(x_{1},...,x_{n},\theta)=\summe_{i=1}^{n}ln[\bruch{\theta}{x_{0}}(\bruch{x_{0}}{x})^{\theta+1}]
[/mm]
wird: ... [mm] =\summe_{i=1}^{n}[ln\theta-lnx_{0}+(\theta+1)ln(\bruch{x_{0}}{x_{i}})]
[/mm]
weiter zerlegt -> ... [mm] =nln\theta-nlnx_{0}+(\theta+1)\summe_{i=1}^{n}(lnx_{0}-lnx_{i)}
[/mm]
-> ... = [mm] nln\theta-nlnx_{0}+n(\theta+1)lnx_{0}-\summe_{i=1}^{n}lnx_{i}
[/mm]
-> ... = [mm] nln\theta-nlnx_{0}+n*\theta*lnx_{0}+nlnx_{0}-\summe_{i=1}^{n}lnx_{i}
[/mm]
Jetzt kürzt sich das [mm] nlnx_{0} [/mm] raus und übrig bleibt:
... [mm] =nln\theta+n*\theta*lnx_{0}-\summe_{i=1}^{n}lnx_{i}
[/mm]
-> [mm] \bruch{\partial(lnL)}{\partial(\theta)}=\bruch{n}{\theta}+nlnx_{0}-\summe_{i=1}^{n}lnx_{i}=0
[/mm]
-> [mm] \theta=\bruch{n}{\summe_{i=1}^{n}lnx_{i}-nlnx_{0}}
[/mm]
-> [mm] \bruch{\partial^{2}(lnL)}{\partial(\theta^{2})}=-\bruch{n}{\theta^{2}}<0 [/mm] -> Max
Da [mm] \theta=\alpha [/mm] und [mm] \alpha>0 [/mm] bzw. auch, weil [mm] \theta [/mm] in der 2ten Ableitung als Quadrat steht und durch das negative Vorzeichen, wird der ganze Ausdruck negativ, d.h ein Maximum liegt vor.
-> [mm] \hat\Theta=\bruch{n}{\summe_{i=1}^{n}lnx_{i}-nlnx_{0}}
[/mm]
Normalerweise schreibe ich das kürzer, aber da übersieht man mamchmal etwas, deswegen hier so ausführlich.
MfG
Daniel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Sa 19.12.2009 | | Autor: | luis52 |
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> -> [mm]\hat\Theta=\bruch{n}{\summe_{i=1}^{n}lnx_{i}-nlnx_{0}}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
vg Luis
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