Maximum-Likelihood Schätzer < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:12 Mi 19.05.2010 | | Autor: | ledun |
| Aufgabe | Aufgabe
Die Lebensdauer X eines Bauelements besitze eine verschobene Exponentialverteilung mit der Dichte:
f(x) = [mm] \lambda\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}(x-\theta)} [/mm] für x [mm] \ge \theta [/mm] , x [mm] \in \IR
[/mm]
Dabei sei der Parameter $ [mm] \lambda [/mm] $ =0.01 bekannt
Die unbekannte minimale Lebensdauer [mm] \theta [/mm] ist mit Hilfe einer mathematischen Stichprobe vom Umfang n zu schätzen. Ermitteln Sie für [mm] \theta [/mm] den Maximum-Likelihood-Schätzer.
Hinweis: Es gilt X = Y + [mm] \theta [/mm] mit Y [mm] \sim Exp(\lambda)
[/mm]
Lösung:
L(x1,...,xn, $ [mm] \theta) [/mm] $ = $ [mm] \lambda^n [/mm] $ * $ [mm] e^{-\lambda\cdot{}\sum (x_i - \theta)} [/mm] $ ; $ [mm] x_i \ge \theta [/mm] $
L wird maximal für $ [mm] \theta [/mm] $ ' = $ [mm] x_{min} [/mm] $
Damit ist $ [mm] X_{min} [/mm] $ die ML-Schätzung für $ [mm] \theta. [/mm] $
Für x $ [mm] \ge \theta [/mm] $ gilt:
$ [mm] P(X_{min} \ge [/mm] $ x) = $ [mm] P(X_1 \ge x)\cdot{}...\cdot{}P(X_n \ge [/mm] $ x) = $ [mm] e^{-n\cdot{}\lambda(x-\theta)} [/mm] $
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Hallo an alle!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich gehe mal davon aus, dass die Lösung richtig ist - kann sie wenn sie richtig sein sollte nicht so richtig nachvollziehen wieso das so ist. Ist der Ansatz eigentlich nicht zu überlegen, wann der Likelihood Schätzer maximal wird bei L(x1,...,xn, $ [mm] \theta) [/mm] $ = $ [mm] \lambda^n [/mm] $ * $ [mm] e^{-\lambda\cdot{}\sum (x_i - \theta)} [/mm] $ ; $ [mm] x_i \ge \theta [/mm] $ indem man sich nur überlegt für welche [mm] \theta [/mm] die Summe null würde und dann wäre [mm] \sum (x_i [/mm] - [mm] \theta) [/mm] = 0 woraus folgen würde, dass der Schätzer das arithmetische Mittel wäre und nicht [mm] X_{min}, [/mm] denn das würde doch das globale Maximum sein oder? Allerdings ist das arithmetische mittel hier als Schätzer nicht einmal asymptotisch erwartungstreu deshalb würd ich sehr gern verstehen wollen wieso [mm] X_{min} [/mm] der schätzer ist. Kann mir bitte da einer helfen wieso es bei [mm] X_{min} [/mm] maximal wird?
Vielen Dank im voraus!!
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:29 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
die Dichte (und damit auch die Likelihood) ist e hoch blablabla *falls* [mm] $x>\theta$, [/mm] und 0 sonst
D.h. nur in Symbolen ausgedrückt ist die Dichte
$ [mm] \lambda\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}(x-\theta)}\mathbf{1}_{(\theta,\infty)}(x) [/mm] $
und das hast Du in Deiner Überlegung vergessen. =)
Ist [mm] $\theta$ [/mm] größer als das kleinste [mm] $x_i$, [/mm] dann ist die die Likelihood 0, weil die entsprechende Indikatorfunktion 0 wird.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:47 Mi 19.05.2010 | | Autor: | ledun |
Hallo! danke für die schnelle antwort!
Der Schätzer wird dann einfach so direkt 0? Wenn ich sage das [mm] \theta [/mm] ist größer als ein x, dann dachte ich ist die Funktion dann ab den [mm] x>\theta [/mm] trotzdem definiert. das alle x die kleiner als [mm] \theta [/mm] sind null werden war mir klar, aber nicht das dann der gesamte schätzer 0 wird. bei der Indikatorfunktion handelt es sich ja auch nur um einen definitionsbereich, der, wenn er angepasst auf den Schätzer (arithmetisches Mittel), erfüllt werden kann. also darf ich bel x aus der stichprobe nicht einfach so verbannen, sondern muss alle mit einbeziehen? und was wäre gewesen wenn das durchschnittliche alter geschätzt werden würde? dann käme wohl auch der selbe schätzer [mm] x_{min} [/mm] raus? das versteh ich halt nicht... da wäre doch dann der Schätzer nutzlos...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:08 Mi 19.05.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin,
zeichne mal [mm] $L(\theta)$ [/mm] fuer die Stichprobe [mm] $x_1=3.07$ [/mm] und [mm] $x_1=1.24$. [/mm] Was faellt auf?
vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Der Schätzer wird dann einfach so direkt 0? Wenn ich sage
> das [mm]\theta[/mm] ist größer als ein x, dann dachte ich ist die
> Funktion dann ab den [mm]x>\theta[/mm] trotzdem definiert. das alle
Definiert ist sie. Sie ist nur 0.
[mm] $L(\theta\ [/mm] |\ [mm] x)=\prod_i f_\theta(x_i)$
[/mm]
ist ein Faktor 0, dann ist auch das Produkt 0.
> also darf ich bel x aus der stichprobe nicht einfach so
> verbannen, sondern muss alle mit einbeziehen? und was wäre
es wäre nicht sehr wissenschaftlich, wenn Du unliebsame Ergebnisse einfach ignorieren würdest. =)
> gewesen wenn das durchschnittliche alter geschätzt werden
> würde? dann käme wohl auch der selbe schätzer [mm]x_{min}[/mm]
> raus? das versteh ich halt nicht... da wäre doch dann der
Da [mm] $\lambda$ [/mm] bekannt ist, kannst Du mit [mm] $x_{min}$ [/mm] als Statistik einen Schätzer konstruieren, der den Erwartungswert schätzt (und das ist auch der MLE). [mm] $x_{min}$ [/mm] selbst ist natürlich nicht der Schätzer.
Nachdem das Stichprobenmittel auch den Erwartungswert schätzt, könntest Du jetzt mal die beiden vergleichen. =)
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Mi 19.05.2010 | | Autor: | ledun |
Hallo nochmal! ist ja ein wahnsinn wie schnell hier die antworten kommen - danke an alle beteiligten nochmal!
ok jetzt nochmal zu dem problem. also [mm] L(\theta\ [/mm] | [mm] x)=\prod_i f_\theta(x_i) [/mm] hab ich verstanden das ist ja auch trivial, wenn man es sich daran überlegt. aber für die umformung L(x1,...,xn, [mm] \theta) [/mm] = [mm] \lambda^n [/mm] $ * $ [mm] e^{-\lambda\cdot{}\sum (x_i - \theta)} [/mm] ; [mm] x_i \ge \theta [/mm] seh ich nicht, dass da alles sofort null wird wenn das [mm] \theta [/mm] größer als ein [mm] x_i [/mm] ist. die summe steht ja fest von i=1 bis n d.h. auch wenn nach definitionsraum ein paar [mm] x_i [/mm] null werden in der summe ist doch aber hier nicht gleich der schätzer auch automatisch null? also dass ist ja eigentlich der ausschlaggebende punkt wieso ich das nicht verstehe in der umformung gibt es auch kein produkt mehr in dem sinn, sondern nur eine summe. wenn ihr mir bitte das erklären könntet ist endlich mein problem gelöst ;D DANKE!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
was ist denn
[mm] $\prod_{i=1}^n \mathbf{1}_{(\theta,\infty)}(x_i)$?
[/mm]
Wenn man's wie Du mit einem Definitionsbereich macht, dann muß man den auch befolgen:
> aber für die umformung L(x1,...,xn, $ [mm] \theta) [/mm] $ = $ [mm] \lambda^n [/mm] $ $ [mm] \cdot{} [/mm] $ $ [mm] e^{-\lambda\cdot{}\sum (x_i - \theta)} [/mm] $ ; $ [mm] x_i \ge \theta [/mm] $
[mm] $x_i\geq \theta$, [/mm] steht da, schwarz auf weiß. =)
Also hat Deine Form der Likelihood überhaupt keinen Wert für [mm] $\theta>x_{min}$, [/mm] weil sie nicht definiert ist. Dementsprechend kann auch das Maximum nicht jenseits des minimalen [mm] $x_i$ [/mm] liegen.
ciao
Stefan
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