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| Aufgabe | Es sei die Norm gegeben:
[mm] \parallel x\parallel_\infty [/mm] = [mm] \parallel x_1,...,x_m\parallel_\infty [/mm] := [mm] max\{|x_1|,...,|x_m|\}
[/mm]
Geben Sie die Kugel um (0,0) mit dem Radius 1 in [mm] (\IR^2,\parallel *\parallel_\infty) [/mm] an. |
Hallo Matheforumler,
ich tu mich leider schwer die Kugel im [mm] \IR^2 [/mm] zu skizzieren.
Dabei ist doch die Menge [mm] max\{|x_i|\}=1 [/mm] zu zeichnen.
Aber wie kann ich mir diese Menge vorstellen?
Nehme ich z.B. einen Vektor, dann sind die [mm] x_i's [/mm] meine Komponenten?
Also würde mir dann [mm] max\{\vektor{1\\ 2}\} [/mm] in der Maximumsnorm die Norm 2 liefern?
Wenn ich mir beispielsweise die Norm [mm] \parallel x\parallel_1:=|x|+|y| [/mm] anschaue, dann ist Menge 1=|x|+|y| zu zeichnen und ich bekomme eine Raute. Das ist mir verständlicher.
Vielleicht kann mir jemand helfen?
Viele Grüße
Richard
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Huhu,
überleg dir, dass gilt:
[mm] $\max(x_1,\ldots,x_n) \le [/mm] c [mm] \gdw x_i \le [/mm] c, [mm] 1\le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$
Damit sollte auch das Zeichnen recht einfach gehen 
MFG,
Gono.
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hallo gono,
danke für die fixe antwort.
es ist der formalismus der mir schwierigkeiten bereitet.
kannst du bitte mal versuchen das eben von dir gepostete
auszuformulieren?
[mm] $\max(x_1,\ldots,x_n) \le [/mm] c [mm] \gdw x_i \le [/mm] c, [mm] 1\le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$
das heißt, die größte der Zahlen aus max(...) ist kleiner oder gleich einer
Konstanten c, und zwar genau dann, wenn irgendein [mm] x_i [/mm] aus max(...)
kleiner als c ist
da bin ich sprach- und ratlos.
gruß
richard
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Hallo Richard,
> hallo gono,
>
> danke für die fixe antwort.
>
> es ist der formalismus der mir schwierigkeiten bereitet.
> kannst du bitte mal versuchen das eben von dir gepostete
> auszuformulieren?
>
> [mm]\max(x_1,\ldots,x_n) \le c \gdw x_i \le c, 1\le i \le n[/mm]
>
> das heißt, die größte der Zahlen aus max(...) ist
> kleiner oder gleich einer
> Konstanten c, und zwar genau dann, wenn irgendein [mm]x_i[/mm] aus
> max(...)
> kleiner als c ist
>
> da bin ich sprach- und ratlos.
Na, wenn du n Zahlen [mm] $x_1,...x_n$ [/mm] hast und das Maximum aus allen ist $c$, dann kann doch keine der n Zahlen [mm] $x_1,...x_n>c$ [/mm] sein.
Sonst wäre c kein Maximum.
Also sind alle Zahlen [mm] $x_1,...,x_n\le [/mm] c$
Das ist also [mm] $\Rightarrow$
[/mm]
Für die andere Richtung nimm an, dass alle n Zahlen [mm] $x_1,...,x_n\le [/mm] c$ seien.
Dann könnte c schon das Maximum sein oder aber auch eine größere Zahl.
Nehmen wir als Bsp. die Menge [mm] $\{1,2\}$; [/mm] beide Zahlen sind [mm] $\le [/mm] 5=:c$, klar, aber [mm] $\max\{1,2\}=2\le [/mm] 5$
Also [mm] $\max\{x_1,...,x_n\}\le [/mm] c$
Für deine Aufgabe benötigst du aber nur [mm] $\Rightarrow$
[/mm]
Du sollst die Menge aller [mm] $(x,y)\in\IR^2$ [/mm] zeichnen mit [mm] $||(x,y)||_{\infty}=1$
[/mm]
also [mm] $\max\{|x|,|y|\}=1$
[/mm]
Dh. beide der Zahlen $|x|$ und $|y|$ müssen [mm] $\le [/mm] 1$ sein. Keine kann größer sein.
Untersuchen wir die möglichen Fälle:
1) [mm] $\max\{|x|,|y|\}=|x|=1$
[/mm]
Dann ist also $|x|=1$ und $|y|$ liegt zwischen 0 und 1.
Kannst du hier die Beträge mal aufdröseln und das weiter untersuchen?
2) [mm] $\max\{|x|,|y|\}=|y|=1$
[/mm]
Dann ist umgekehrt $|y|=1$ und [mm] $0\le|x|\le [/mm] 1$
Auch hier drösel die Beträge auf ...
>
> gruß
> richard
LG
schachuzipus
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das hat mir jetzt weitergeholfen.
vielen Dank!
richard
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hallo schachuzipus,
z.B. für |x|=1
1) x>0: x=1
2) x<0: x=-1 ?
dann gibt es also die Geraden [mm] x\pm1 [/mm] und [mm] y\pm1 [/mm] die ein Quadrat mit kantenlänge 2 begrenzen
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