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Forum "Stochastik" - Maximum-likelihood
Maximum-likelihood < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Maximum-likelihood: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:32 Di 03.02.2015
Autor: LGS

Aufgabe
Bei einem Züchtungsexperiment treten die drei Genotypen auf DD,Dd bzw.dd mit den W'keiten [mm] $p^2,2p(1-p)$ [/mm] bzw. [mm] $(1-p)^2$ [/mm] für ein $p[0,1]$auf. Bei $n $unabhängigen Durchführungen dieses Experiments traten die Genotypen [mm] $n_1,n_2 [/mm] $ bzw. [mm] $n_3$ [/mm] mal auf $( [mm] n_1+n_2+n_3=n)$. [/mm] Bestimmen sie eine Maximum-Likelihood-Schätzung für den Parameter $p$

ich glaub es ist die geometrische Verteilung,weiss dennoch nicht wie ich die Likehood machen soll


ist dieser Ansatz richtig?


[mm] $L(p;x_1,...,x_n)= \prod_{i=1}^{n_1} p^2 \cdot{} \prod_{i=n_1}^{n_2} 2p(1-p)\cdot{} \prod_{i=n_2}^{n_3}(1-p)^2$ [/mm]

jetzt

[mm] $Log(L(p;x_1,...,x_n))= [/mm] Log( [mm] \prod_{i=1}^{n_1} p^2 \cdot{} \prod_{i=n_1}^{n_2} 2p(1-p)\cdot{} \prod_{i=n_2}^{n_3}(1-p)^2)$ [/mm]



        
Bezug
Maximum-likelihood: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:25 Di 03.02.2015
Autor: luis52


>  
> [mm]Log(L(p;x_1,...,x_n))= Log( \prod_{i=1}^{n_1} p^2 \cdot{} \prod_{i=n_1}^{n_2} 2p(1-p)\cdot{} \prod_{i=n_2}^{n_3}(1-p)^2)[/mm]


[ok] Und wie geht's weiter?

Uebrigens, die Schreibweise fuer den Logarithmus lautet [mm] $\log$ [/mm] oder [mm] $\ln$. [/mm]

Bezug
                
Bezug
Maximum-likelihood: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:55 Di 03.02.2015
Autor: LGS

1.Ich habe einen Fehler bemerkt! alle summe müssen von $ i=1$ ab laufen




[mm] $log(L(p;x_1,...,x_n))= [/mm] log( [mm] \prod_{i=1}^{n_1} p^2 \cdot{} \prod_{i=1}^{n_2} 2p(1-p)\cdot{} \prod_{i=1}^{n_3}(1-p)^2) [/mm] =log(  [mm] p^{2n_1} \cdot{} (2p(1-p))^{n_2}\cdot{} (1-p)^{2\cdot{}n_3}) =2n_1\cdot{}Log(p)+ n_2\cdot{}log((2p(1-p))+ 2n_3\cdot{}log((1-p))$ [/mm]


jetzt [mm] $(log(L(p;x_1,...,x_n)))'= \frac{2n_1}{p}+\frac{n_2\cdot(2-4p)}{(2p(1-p)} [/mm] - [mm] \frac{2n_3}{1-p} [/mm]  $

für extrema [mm] $log(L(p;x_1,...,x_n)))'= \frac{2n_1}{p}+\frac{n_2\cdot(2-4p)}{(2p(1-p)} [/mm] - [mm] \frac{2n_3}{1-p} [/mm] =0 $

nun komme ich nicht weiter wie ich umformen soll ..:/

Bezug
                        
Bezug
Maximum-likelihood: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:09 Di 03.02.2015
Autor: luis52

Moin, hier wuehle ich mich nicht durch.

*Ich* erhalte aus [mm] $L(p)=2^{n_2}p^{2n_1+n_2}(1-p)^{n_2+2n_3}$: [/mm]
[mm] $\log L(p)=\alpha+(2n_1+n_2)\log p+(n_2+2n_3)\log(1-p)$, $(\log L(p))'=\frac{2n_1+n_2}{p}-\frac{n_2+2n_3}{1-p}$ [/mm]
...

Bezug
                                
Bezug
Maximum-likelihood: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:33 Di 03.02.2015
Autor: LGS

hab nochmal nachgrechnet und hab das jetzt auch raus !! :)


$ [mm] (\log L(p))'=\frac{2n_1+n_2}{p}-\frac{n_2+2n_3}{1-p} [/mm] $

jetzt null setzen

$ [mm] (\log L(p))'=\frac{2n_1+n_2}{p}-\frac{n_2+2n_3}{1-p} [/mm] = 0 $

[mm] $\gdw \frac{2n_1+n_2}{p} [/mm] = [mm] \frac{n_2+2n_3}{1-p} [/mm] $

[mm] $\gdw (2n_1+n_2)\dot{}\frac{1}{p} [/mm] = [mm] (n_2+2n_3)\cdot{}\frac{1}{1-p} [/mm] $

[mm] $\gdw (2n_1+n_2) [/mm] = [mm] (n_2+2n_3)\cdot{}\frac{p}{1-p} [/mm] $

[mm] $\gdw \frac{(2n_1+n_2)}{(n_2+2n_3)}= p*\frac{1}{1-p} [/mm] $

jetzt geo.reihe

[mm] $\gdw \frac{(2n_1+n_2)}{(n_2+2n_3)}= p*\summe_{k=1}^{n} p^k$ [/mm]

jetzt ka ..:/

Bezug
                                        
Bezug
Maximum-likelihood: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:29 Di 03.02.2015
Autor: luis52

Die Aufgabe lautet: Bestimmen sie eine Maximum-Likelihood-Schätzung für den Parameter $ p $

Du hast richtig erkannt, dass sie die Gleichung

$ [mm] \frac{2n_1+n_2}{p}-\frac{n_2+2n_3}{1-p} [/mm] = 0 $

erfuellen muss. Die Loesung lautet

[mm] $\hat [/mm] p= [mm] \frac{2n_1+n_2}{2n}$. [/mm]

Ende der Durchsage, nix geo.reihe.

Schoen waere es, wenn du noch die hinreichende Bedingung ueberpruefen wuerdest ...

Bezug
                                                
Bezug
Maximum-likelihood: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:04 Di 03.02.2015
Autor: LGS

hin.Bed.:

[mm] $(logL(p))^{(2)}= -\frac{2n_1+n_2}{p^2}+\frac{n_2+2n_3}{(1-p)^2}<0$ [/mm] und das ist $<0$ ,damit liegt ein Maximum vor





Bezug
                                                        
Bezug
Maximum-likelihood: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:18 Di 03.02.2015
Autor: luis52


> hin.Bed.:
>  
> [mm](logL(p))^{(2)}= -\frac{2n_1+n_2}{p^2}+\frac{n_2+2n_3}{(1-p)^2}<0[/mm]

Grrh!

[mm](\log L(p))^{(2)}= -\frac{2n_1+n_2}{p^2}\red{-}\frac{n_2+2n_3}{(1-p)^2}<0[/mm]



> und das ist [mm]<0[/mm] ,damit liegt ein Maximum vor
>

[ok]

Bezug
                                                                
Bezug
Maximum-likelihood: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:31 Di 03.02.2015
Autor: LGS

Danke Luis52 für deine kompetente Hilfe! gibst eigentlich Tricks(loglikeli) bei ML die man beachten sollte? Ich frage ,weil ich ihn dieser Woche noch Klausur schreibe :)

Bezug
                                                                        
Bezug
Maximum-likelihood: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:24 Di 03.02.2015
Autor: luis52


>   gibst eigentlich
> Tricks(loglikeli) bei ML die man beachten sollte?

Ja, gehe nicht nach Schema F vor.  Es kann vorkommen, dass du die
Likelihoodfunktion nicht mit Mitteln der Differentialrechnung optimieren
musst, insbesondere dann, wenn die Parameter nur endlich viele Werte
sein koennen. Es kann auch vorkommen, dass ein Randmaximum angenommen
wird.

Habe leider kein Beispiel parat, aber suche mal hier im MR nach
Likelihood.
          

> Ich frage
> ,weil ich ihn dieser Woche noch Klausur schreibe :)  

Alles Gute.


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