Maximum Lik.hood Schätzer < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | $ [mm] \pi_\lambda [/mm] $ bezeichne die Poisson-Verteilung mit Zähldichte
$ [mm] \pi_\lambda [/mm] $ [mm] (\left\{ k \right\}) [/mm] = $ [mm] exp(-\lambda)\bruch{\lambda^k}{k!} [/mm] $, k [mm] \in [/mm] $ [mm] \IN_0 [/mm] $.
Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für $ [mm] \lambda [/mm] > 0 $bei gegebener Stichprobe $ x = [mm] (x_1,....,x_m) [/mm] $ [mm] \in $\IN^m_0$ [/mm] |
Hallo,
habe mal eine Frage zu dieser Aufgabe..
hier ist meine Lösung:
1.Likelihood Funktion aufstellen:
$ [mm] L(\lambda) [/mm] = [mm] \prod_{i=1}^{m} [/mm] $ [mm] \pi_\lambda [/mm] $ [mm] \left\{ x_i \right\} [/mm] $ = $ [mm] \prod_{i=1}^{n} e^{-\lambda} [/mm] * [mm] \bruch{\lambda^{x_i}}{x_i!} [/mm] $
2. log-likelihood-Gleichung aufstellen:
$ [mm] log(e^{-\lambda} [/mm] * [mm] \bruch{\lambda^{x_i}}{x_i!}) [/mm] = [mm] log(\bruch{e^{-\lambda} *\lambda^{x_i}}{x_i!}) [/mm] $ = $ [mm] \sum_{i=1}^{m} log(e^{-\lambda} *\lambda^{x_i})-log(x_i!) [/mm] $= $ [mm] \sum_{i=1}^{m} log(e^{-\lambda})+log(\lambda^{x_i})-log(x_i!) [/mm] $ = $ [mm] \sum_{i=1}^{m} -\lambda+x_ilog(\lambda)-log(x_i!) [/mm] $
3. Liklihood Gleichung aufstellen:
[mm] \bruch{d}{d\lambda} l(\lambda) [/mm] = $ [mm] -1+\bruch{x_i}{\lambda} [/mm] $ = $ [mm] \sum_{i=1}^{m} (-1+\bruch{x_i}{\lambda}) [/mm] = 0 $
ist das richtig? bin ich schon fertig mit der Aufgabe?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Mi 28.01.2015 | | Autor: | luis52 |
> 1.Likelihood Funktion aufstellen:
>
> [mm]L(\lambda) = \prod_{i=1}^{m}[/mm] [mm]\pi_\lambda[/mm] [mm]\left\{ x_i \right\}[/mm]
> = [mm]\prod_{i=1}^{n} e^{-\lambda} * \bruch{\lambda^{x_i}}{x_i!}[/mm]
Moin, besser:
[mm]\prod_{i=1}^{\red{m}} e^{-\lambda} * \bruch{\lambda^{x_i}}{x_i!}[/mm]
>
> 2. log-likelihood-Gleichung aufstellen:
>
> [mm]log(e^{-\lambda} * \bruch{\lambda^{x_i}}{x_i!}) = log(\bruch{e^{-\lambda} *\lambda^{x_i}}{x_i!})[/mm]
> = [mm]\sum_{i=1}^{m} log(e^{-\lambda} *\lambda^{x_i})-log(x_i!) [/mm]=
> [mm]\sum_{i=1}^{m} log(e^{-\lambda})+log(\lambda^{x_i})-log(x_i!)[/mm]
> = [mm]\sum_{i=1}^{m} -\lambda+x_ilog(\lambda)-log(x_i!)[/mm]
>
> 3. Liklihood Gleichung aufstellen:
>
> [mm]\bruch{d}{d\lambda} l(\lambda)[/mm] = [mm]-1+\bruch{x_i}{\lambda}[/mm] =
> [mm]\sum_{i=1}^{m} (-1+\bruch{x_i}{\lambda}) = 0[/mm]
>
> ist das richtig?
Ja.
>bin ich schon fertig mit der Aufgabe?
Nein. Wo ist der Schaetzer?
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Hallo, danke für deine Antwort Luis52.
ja das frage ich mich gerade auch ^^ hab es zwar gegooglet aber irgendwie komme ich da nicht voran..
könntest du mir kurz helfen?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Do 29.01.2015 | | Autor: | luis52 |
> Hallo, danke für deine Antwort Luis52.
Gerne.
>
> ja das frage ich mich gerade auch ^^ hab es zwar gegooglet
> aber irgendwie komme ich da nicht voran..
> könntest du mir kurz helfen?
Loese $ [mm] \sum_{i=1}^{m} (-1+\bruch{x_i}{\lambda}) [/mm] = 0 $ nach [mm] $\lambda$ [/mm] auf. Bedenke: Du suchst die Stelle, an der die Log-Likelihoodfunktion ein Maximum annimmt. Vielleicht kannst du dir sogar noch den Luxus leisten, die hinreichende Bedingung zu ueberpruefen ...
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