Maximum einer Komplexen Fkt < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Abend,
ich habe ein Problem mit dem Maximum einer Komplexen Funktion.
Und zwar soll ich von [mm] |exp(z^{3})| [/mm] bestimmen und zwar auf der Menge
{x+yi | x,y [mm] \in [/mm] [-1,1]}
Ich habe nun zu erst [mm] z^{3} [/mm] bestimmt das müsste sein:
[mm] x^{3}-iy^{3}+3yix^{2}-3xy^{2}
[/mm]
Daraus folgt doch dann das der Betrag davon nur noch [mm] x^{3}-3xy^{2} [/mm] oder??
Aber wie mache ich dann weiter wenn ich nur das Intervall als Nebenbedingung habe??
Gruss Flipper
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:27 Mo 21.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Flipper!
> ich habe ein Problem mit dem Maximum einer Komplexen
> Funktion.
>
> Und zwar soll ich von [mm]|exp(z^{3})|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
bestimmen und zwar auf
> der Menge
> {x+yi | x,y [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
[-1,1]}
>
> Ich habe nun zu erst [mm]z^{3}[/mm] bestimmt das müsste sein:
> [mm]x^{3}-iy^{3}+3yix^{2}-3xy^{2}[/mm]
>
> Daraus folgt doch dann das der Betrag davon nur noch
> [mm]x^{3}-3xy^{2}[/mm] oder??
>
> Aber wie mache ich dann weiter wenn ich nur das Intervall
> als Nebenbedingung habe??
Eine aehnliche Frage wurde hier schon mal gestellt. Da bekommst du evtl. ein paar Tipps her.
Du bekommst zumindest analog dazu, dass du [mm] $x^3 [/mm] - 3 x [mm] y^2$ [/mm] fuer $x = [mm] \pm [/mm] 1$, $y [mm] \in [/mm] [-1, 1]$ bzw. $y = [mm] \pm [/mm] 1$, $x [mm] \in [/mm] [-1, 1]$ maximieren musst. Das solltest du ganz elementar (etwa mit Kurvendiskussion) hinbekommen...
LG Felix
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Hi Felix,
das habe ich auch schon gesehen aber ich habe hier doch keine Nebenbedingung die ich so schön parametisieren kann :-(
Es kann doch nicht alles sein einfach ein x oder y einzusetzen und einmal ableiten, gleich null setzen und dann bin ich fertig oder??
Habe mir auch schon gedacht das es -1,1 sein muss weil das maximum wohl auf dem Rand liegen muss oder??
Gruss
Flipper
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:18 Mo 21.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Flipper
> das habe ich auch schon gesehen aber ich habe hier doch
> keine Nebenbedingung die ich so schön parametisieren kann
> :-(
Nicht ganz so schoen wie in der anderen Frage, aber so viel schlimmer ists auch nicht... :)
> Es kann doch nicht alles sein einfach ein x oder y
> einzusetzen und einmal ableiten, gleich null setzen und
> dann bin ich fertig oder??
Nee, du musst schon bestimmte einsetzen...
> Habe mir auch schon gedacht das es -1,1 sein muss weil das
> maximum wohl auf dem Rand liegen muss oder??
Genau, das Maximum muss auf dem Rand liegen (da die Funktion holomorph ist). Und den Rand kannst du mit folgenden vier Funktionen parametrisieren:
1) [mm] $\gamma_1(t) [/mm] = (1, t)$, $t [mm] \in [/mm] [-1, 1]$,
2) [mm] $\gamma_2(t) [/mm] = (-1, t)$, $t [mm] \in [/mm] [-1, 1]$,
3) [mm] $\gamma_3(t) [/mm] = (t, 1)$, $t [mm] \in [/mm] [-1, 1]$ und
4) [mm] $\gamma_4(t) [/mm] = (t, -1)$, $t [mm] \in [/mm] [-1, 1]$.
Also alle mal einsetzen, und jeweils per Kurvendiskussion das Maximum in $[-1, 1]$ bestimmen. Und von allen vier Maxima das groesste nehmen.
LG Felix
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Hi,
so jetzt habe ich mich so weit durch gearbeitet.
[mm] \gamma_1(t) [/mm] = (1, t) = [mm] 1-3t^{2}
[/mm]
[mm] \gamma_2(t) [/mm] = (-1, t) = [mm] -1+3t^{2}
[/mm]
[mm] \gamma_3(t) [/mm] = (t, 1) = [mm] t^{3}-3t
[/mm]
[mm] \gamma_4(t) [/mm] = (t, -1) = [mm] t^{3}-3t
[/mm]
Wenn ich für alle eine Kurvendiskusion durchführe kommt ich dazu dass das Maximum bei (-1,-1) liegt und zwar bei [mm] \gamma_1(t) [/mm] = (1, t) = [mm] 1-3t^{2}.
[/mm]
Siehst du das auch so??
Gruss
Frank
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Die Funktionsterme stimmen. Sie stellen allerdings den Exponenten von [mm]\left| \operatorname{e}^{z^3} \right|[/mm] dar. Also schleunigst weg mit den hinteren Gleichheitszeichen!
Ich habe, daß das Maximum bei [mm]-1 \pm \operatorname{i}[/mm] angenommen wird, also bei den beiden linken Ecken des Quadrates [mm]x + \operatorname{i} y \, , \ -1 \leq x,y \leq 1[/mm]. Dafür ist allerdings [mm]\gamma_1[/mm] gerade nicht zuständig.
Hast du beachtet, daß [mm]t[/mm] in allen vier Fällen in [mm][-1,1][/mm] liegen muß?
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Hallo,
sorry war wohl etwas spät gestern.
Also noch mal die 4.Fälle also die 4 [mm] \gamma [/mm] sind natürlich die Exponenten von [mm] e^{z^{3}} [/mm] und daher nicht gleich.
Und wenn ich für alle 4 Fälle die Ableitungen bestimme bekomme ich, dass für [mm] \gamma_3 [/mm] und [mm] \gamma_4 [/mm] die Ableitunge gleich sind,
nämlich:
[mm] 3t^{2}-3 [/mm] => das ich dann eine Extremstelle bei [mm] \pm [/mm] 1 habe wenn ich das in die zweite Ableitung einsetze bekomme ich das die Hochpunkte bei (-1,1) und (-1,-1) liegen wenn ich das nun in den Exponenten einsetze bekomme ich die Maximas bei [mm] e^{2} [/mm] 
Ja das hat wohl geklappt oder liege ich wieder falsch???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Di 22.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hi Flipper!
> sorry war wohl etwas spät gestern.
Kann mal vorkommen :)
> Also noch mal die 4.Fälle also die 4 [mm]\gamma[/mm] sind natürlich
> die Exponenten von [mm]e^{z^{3}}[/mm] und daher nicht gleich.
>
> Und wenn ich für alle 4 Fälle die Ableitungen bestimme
> bekomme ich, dass für [mm]\gamma_3[/mm] und [mm]\gamma_4[/mm] die Ableitunge
> gleich sind,
> nämlich:
>
> [mm]3t^{2}-3[/mm] => das ich dann eine Extremstelle bei [mm]\pm[/mm] 1 habe
> wenn ich das in die zweite Ableitung einsetze bekomme ich
> das die Hochpunkte bei (-1,1) und (-1,-1) liegen wenn ich
> das nun in den Exponenten einsetze bekomme ich die Maximas
> bei [mm]e^{2}[/mm]
Genau. (Ist auch das was Leopold schon geschrieben hat.)
LG Felix
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Das Ergebnis stimmt, bei der Herleitung habe ich aber Zweifel ob der Richtigkeit. Mit Hilfe der ersten Ableitung kannst du nur lokale Extrema im Innern des Definitionsbereichs bestimmen. Und die Ableitung von [mm]\varphi: \ \ t \mapsto t^3 - 3t^2[/mm] hat überhaupt keine Nullstellen für [mm]|t| < 1[/mm]. Für die Randpunkte [mm]t = \pm 1[/mm] ist die Ableitung nicht zuständig.
Ich würde so argumentieren: Da [mm]\varphi'[/mm] im Innern des Intervalls [mm][-1,1][/mm] keine Nullstellen hat, muß das (globale) Maximum von [mm]\varphi[/mm] am Rand angenommen werden (auch wenn [mm]\varphi'[/mm] dort gar nicht 0 wäre). Ein Vergleich der Werte zeigt, daß das bei [mm]t = -1[/mm] der Fall ist.
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