Maximum und Minimum einer Norm < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo liebe Mathematiker und solche die es werden wollen!
Ich habe da auf meinen Übungsblatt eine Frage, bei der ich nicht so recht weiß, wie ich sie beantworen soll. Vielleicht kann mir da ja jemand einen Ansatz geben, wie ich die Frage bearbeiten kann?
Frage:
Man beweise oder wiederlege:
1.) Das Maximum von zwei Normen ist wieder eine Norm
2.) Das Minimum von zwei Normen ist wieder eine Norm
Vielen lieben Dank,
ein:
Uni_Anfänger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:55 Do 10.06.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo,
ich würde an die Aufgabe so rangehen:
Definiere Norm 1 als [mm] ||\cdot||_1 [/mm] und Norm 2 mit [mm] ||\cdot||_2.
[/mm]
Dann ist die Behauptung:
[mm] ||\cdot ||_{max} [/mm] := [mm] \max\{||\cdot||_1,||\cdot||_2\} [/mm] ist wieder eine Norm.
Zu prüfen ist nun, ob [mm] ||\cdot ||_{max} [/mm] die Normaxiome erfüllt.
Grüße
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Hallo!
Ja, sowiet hatte ich mir das schon gedacht, aber mein Problem ist halt immer: Wie mache ich das konkret?! Kannst Du mir das vielleicht mal aufschreiben?
Vielen lieben Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Do 10.06.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo,
es gibt drei Normaktiome, ich schreibe mal das erste auf:
Positivität und Definitheit: $||x|| [mm] \geq [/mm] 0$ und $||x|| = 0 [mm] \gdw [/mm] x=0$
Zum Prüfen setzt man ein und rechnet aus:
Positivität:
[mm] $||x||_{max} [/mm] = [mm] \max\{||x||_1,||x||_2\}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow ||x||_{max} [/mm] = [mm] ||x||_1$ [/mm] oder [mm] $||x||_{max} =||x||_2$.
[/mm]
Nun ist [mm] $||x||_1\geq [/mm] 0$ und [mm] $||x||_2 \geq [/mm] 0$, denn [mm] $||x||_1, ||x||_2$ [/mm] sind Normen, demnach folgt:
[mm] $||x||_{max} \geq [/mm] 0$
Kommst Du jetzt klar?
Grüße
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Hallo!
Ok, das habe ich kapiert. Wenn ich jetzt aber die beiden anderen Axiome einsetze komme ich irgendwie zu nichts, was ich überzeugend finde:
2. Axiom:
IIßxII = IßI IIxII
IIxIImax = max (IIx1II, IIx2II)
IIxII1 * IIxII2 =IIx1 * x2II
ßIIx1 * x2II = IIßx1 * x2II
3.) Axiom:
IIx + yII kleiner IIxII + IIyII
IIx1II + IIx2II kleiner IIx1 + x2II
Das ist doch bestimmt der falsche Weg, oder?
Gruß,
eine Anfängerin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Do 10.06.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo,
generell fehlt noch beim 1. Axiom die Definitheit. Hast Du die denn machen können?
Bei dem zweiten Axiom sieht es genauso aus:
Zu zeigen ist, dass mit [mm] \lambda \in \IR [/mm] gilt:
[mm] $||\lambda x||_{max} [/mm] = [mm] |\lambda|*||x||_{max}$
[/mm]
Ok, also wieder überlegen, was eigentlich [mm] $||\lambda x||_{max}$ [/mm] ist:
[mm] $||\lambda x||_{max}=\max\{||\lambda x||_1,||\lambda x||_2\}$
[/mm]
Nun sind ja [mm] $||\cdot||_1$ [/mm] und [mm] $||\cdot||_2$ [/mm] Normen, die das 2. Axiom erfüllen, also:
[mm] $||\lambda x||_{max}=\max\{||\lambda x||_1,||\lambda x||_2\}= \max\{|\lambda|*||x||_1, |\lambda|*||x||_2\}$
[/mm]
Damit ist aber [mm] $||\lambda x||_{max} [/mm] = [mm] |\lambda|*||x||_1$ [/mm] oder [mm] $||\lambda x||_{max} [/mm] = [mm] |\lambda|*||x||_2$ [/mm] und folglich gilt
[mm] $||\lambda x||_{max} [/mm] = [mm] |\lambda|*||x||_{max}$
[/mm]
Das dritte Axiom (Dreiecksungleichung) läuft wieder genau so. Du hast in Deinem Ansatz Dir nicht klar gemacht, wann du mit der Maximumnorm rechnest und wann mit den zu Grunde liegenden Normen.
Gruß
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Hallo nochmal!
Also: Wenn ich Dich jetzt richtig verstanden habe, dann muss ich für die Definitiheit folgendes schreiben:
Da II II1 und II II2 Normen sind gilt, dass beide Normen nur dann Null sind, wenn x=0. Da II II max aber entweder aus II II1 oder II II2 ist, kann II IImax nur dann Null sein, wenn x=0
Für die Dreiecksungleichung würde das dann bedeuten:
IIx+yIImax = max(IIx+yII1 kleiner gleich IIxII1 + IIyII1; IIx+yII2 kleiner gleich IIxII2 + IIyII2)
Folglich:
Da IIx+yIImax kleiner gleich IIxII1 + IIyII1
oder IIx+yIImax kleiner gleich IIxII2 + IIyII2
Folglich sind die Normaxiome erfüllt und das Maximum zweier Normen ist wieder eine Norm.
Gilt dies auch für das Minimum zweier Normen? Also ist das Mimimum zweier Normen wieder eien Norm? wenn ich mir das so anschaue, müsste das doch so sein und die Rechnung analog laufen, oder?
Vielen lieben Dank für die Hilfe bei der Aufgabe!
Gruß,
Uni_Anfaenger(in)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 Do 10.06.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo,
>
> Da II II1 und II II2 Normen sind gilt, dass beide Normen
> nur dann Null sind, wenn x=0. Da II II max aber entweder
> aus II II1 oder II II2 ist, kann II IImax nur dann Null
> sein, wenn x=0
>
Genau! Da es sich aber um eine Äquivalenz handelt, sind beide Richtungen zu zeigen. In unserem Fall artet das aber nur in Schreibarbeit aus:
Sei $x=0$. Dann gilt
[mm] $||x||_{max} [/mm] = [mm] ||0||_{max} [/mm] = [mm] \max\{||0||_1,||0||_2\} \overbrace{=}^{1}\max\{0,0\} [/mm] = 0$
Sei [mm] $||x||_{max} [/mm] = 0$. Dann gilt:
$0 = [mm] ||x||_{max} [/mm] = [mm] \max\{||x||_1,||x||_2\} \overbrace{\Rightarrow}^{2} ||x||_1=||x||_2 [/mm] =0 [mm] \overbrace{\Rightarrow}^{1} [/mm] x=0$
(1) Da [mm] $||\cdot||_1,||\cdot||_2$ [/mm] Normen
(2) Da [mm] $||\cdot||_1\geq 0,||\cdot||_2 \geq [/mm] 0$
> Für die Dreiecksungleichung würde das dann bedeuten:
>
> IIx+yIImax = max(IIx+yII1 kleiner gleich IIxII1 + IIyII1;
> IIx+yII2 kleiner gleich IIxII2 + IIyII2)
>
Bei der Dreiecksungleichung ist zu zeigen, dass
[mm] $||x+y||_{max} \leq ||x||_{max} +||y||_{max}$ [/mm]
Das sehe ich bei Deinem Ansatz noch nicht so ganz.... Eventuell meinen wir aber beide das selbe. Was Du Dir schon selber überlegt hast, ist
[mm] $||x+y||_{max} =\max\{||x+y||_1,||x+y||_2\} \overbrace{\leq}^{1} \max\{||x||_1+||y||_1,||x||_2+||y||_2\}$
[/mm]
Die Frage ist nur, ob man behaupten kann, dass
[mm] $||x||_{max} [/mm] + [mm] ||y||_{max} [/mm] = [mm] \max\{||x||_1,||x||_2\} [/mm] + [mm] \max\{||y||_1,||y||_2\} \overbrace{=}^{?} \max\{||x||_1+||y||_1,||x||_2+||y||_2\}$
[/mm]
> Gilt dies auch für das Minimum zweier Normen? Also ist das
> Mimimum zweier Normen wieder eien Norm? wenn ich mir das so
> anschaue, müsste das doch so sein und die Rechnung analog
> laufen, oder?
Die Rechnung läuft analog ab.
Gruß
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