Maximum von n Zufallsvariablen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien [mm] X_{1},...,X_{n} [/mm] unabhängige Zufallsvariablen mit Verteilungsfunktionen [mm] F_{1}, [/mm] ..., [mm] F_{n}. [/mm] Zeigen Sie, dass die Verteilungsfunktionen von M = [mm] max\{X_{1},...,X_{n}\} [/mm] und m = [mm] min\{X_{1},...,X_{n}\} [/mm] gegeben sind durch:
[mm] $F_{M}(x) [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n}F_{i}(x)$
[/mm]
und
[mm] $F_{m}(x) [/mm] = 1 - [mm] \produkt_{i=1}^{n}(1-F_{i}(x))$ [/mm] |
Hallo!
Bei der obigen Aufgabe bräuchte ich einen Ansatz...
Mein Problem ist zunächst, dass ich überhaupt nicht weiß, was [mm] max\{X_{1},...,X_{n}\} [/mm] eigentlich sein soll, weil die Zufallsvariablen [mm] X_{i} [/mm] ja eigentlich Funktionen sind?
Könnt ihr mir das bitte erklären?
Vielen Dank für Eure Hilfe,
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 So 22.11.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Stefan,
stell dir vor, es werden zwei Wuerfel geworfen. Es werden die Zufallsvariablen [mm] $X_i$=Augenzahl [/mm] von Wuerfel $i_$. Fuer [mm] $(X_1,X_2)=(2,3)$ [/mm] ist $M=3$ und $m=2$ ...
vg Luis
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Danke luis52 für deine Antwort,
d.h. das das Maximum "variabel" ist, also vom eingesetzten x abhängt? Ich kann also nicht pauschal sagen: [mm] $max\{X_{1},..,X_{n}\} [/mm] = [mm] X_{1}$.
[/mm]
Entsprechend kann dann [mm] F_{M}(x) [/mm] für ein x gerade mal [mm] F_{1}(x) [/mm] sein, aber genauso gut für ein anderes x die Verteilungsfunktion [mm] F_{5}(x) [/mm] ?
Mmh...
Aber wie kann ich jetzt den Beweis angehen? Bräuchte noch einen kleinen Denkanstoß 
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:24 Mo 23.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> Danke luis52 für deine Antwort,
>
> d.h. das das Maximum "variabel" ist, also vom eingesetzten
> x abhängt? Ich kann also nicht pauschal sagen:
> [mm]max\{X_{1},..,X_{n}\} = X_{1}[/mm].
Genau. [mm] $\max\{X_{1},..,X_{n}\}$ [/mm] ist die Funktion [mm] $\omega \mapsto max\{X_{1}(\omega),..,X_{n}(\omega)\}$.
[/mm]
> Entsprechend kann dann [mm]F_{M}(x)[/mm] für ein x gerade mal
> [mm]F_{1}(x)[/mm] sein, aber genauso gut für ein anderes x die
> Verteilungsfunktion [mm]F_{5}(x)[/mm] ?
Nein, so ist das nicht.
> Mmh...
> Aber wie kann ich jetzt den Beweis angehen? Bräuchte noch
> einen kleinen Denkanstoß
Es gilt ja [mm] $\{ \max\{ X_1, \dots, X_n \} \le x \} [/mm] = [mm] \{ X_1 \le x \wedge \dots \wedge X_n \le x \}$.
[/mm]
LG Felix
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Hallo Felix,
danke für deine Antwort
Das die zweite Sache falsch war, beweist mir, dass ich es noch nicht ganz verstanden hatte... Jetzt hab' ichs aber!
> Es gilt ja [mm]\{ \max\{ X_1, \dots, X_n \} \le x \} = \{ X_1 \le x \wedge \dots \wedge X_n \le x \}[/mm].
Und damit wegen der Unabhängigkeit von [mm] X_{1}, [/mm] ..., [mm] X_{n}:
[/mm]
[mm] $F_{M}(x) [/mm] = [mm] \IP(\{ \max\{ X_1, \dots, X_n \} \le x \})$
[/mm]
$ = [mm] \IP(\{ X_1 \le x \wedge \dots \wedge X_n \le x \})$
[/mm]
$ = [mm] \IP(\{X_{1} \le x\})*\IP(\{X_{2}\le x\}) *...*\IP(\{X_{n}\le x\})$
[/mm]
$ = [mm] F_{1}(x)*...*F_{n}(x)$
[/mm]
$ = [mm] \produkt_{i=1}^{n}F_{i}(x)$,
[/mm]
stimmts  ?
Danke nochmal und Grüße,
Stefan
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Dann danke ich euch beiden für eure Hilfe ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") !
Grüße,
Stefan
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