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| Aufgabe | | Es seien U [mm] \subset \IC [/mm] ein Gebiet und f [mm] \in \mathcal{O}(U) [/mm] nicht konstant. Weiterhin sei [mm] z_{0} \in \U [/mm] ein Minimum von |f|. Zeigen Sie: [mm] f(z_{0})=0. [/mm] |
Hallo liebes matheforum,
ich wäre um eure Hilfe bei obiger Aufgabe dankbar. [mm] \mathcal{O} [/mm] ist bei uns die Algebra der holomorphen Funktionen.
Die obige Aufgabe riecht ja praktisch nach dem Maximums-/Minimumsprinzip, daher will ich diese Aussage nutzen: f: G [mm] \to \IC [/mm] holomorph, [mm] z_{0} \in [/mm] U [mm] \subset [/mm] G offen, [mm] |f(z_{0})| \le [/mm] |f(z)|und f(z) [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] f ist konstant.
In der Aufgabe ist f zwar holomorph, aber nicht konstant, [mm] z_{0} [/mm] ist aber ein Minimum von |f|, d.h. für das Minimumsprinzip ist praktisch fast alles erfüllt, trotzdem ist f konstant. , deswegen kann f(z) [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] z nicht erfüllt sein.
[mm] \Rightarrow f(z_{0})=0.
[/mm]
Ist das soweit richtig und nachvollziehbar oder muss ich einen anderen Ansatz wählen?
Beste Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:13 Di 14.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es seien U [mm]\subset \IC[/mm] ein Gebiet und f [mm]\in \mathcal{O}(U)[/mm]
> nicht konstant. Weiterhin sei [mm]z_{0} \in \U[/mm] ein Minimum von
> |f|. Zeigen Sie: [mm]f(z_{0})=0.[/mm]
> Hallo liebes matheforum,
>
> ich wäre um eure Hilfe bei obiger Aufgabe dankbar.
> [mm]\mathcal{O}[/mm] ist bei uns die Algebra der holomorphen
> Funktionen.
>
> Die obige Aufgabe riecht ja praktisch nach dem
> Maximums-/Minimumsprinzip, daher will ich diese Aussage
> nutzen: f: G [mm]\to \IC[/mm] holomorph, [mm]z_{0} \in[/mm] U [mm]\subset[/mm] G
> offen, [mm]|f(z_{0})| \le[/mm] |f(z)|und f(z) [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] z [mm]\in[/mm]
> U [mm]\Rightarrow[/mm] f ist konstant.
>
> In der Aufgabe ist f zwar holomorph, aber nicht konstant,
> [mm]z_{0}[/mm] ist aber ein Minimum von |f|, d.h. für das
> Minimumsprinzip ist praktisch fast alles erfüllt, trotzdem
> ist f konstant. , deswegen kann f(z) [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] z
> nicht erfüllt sein.
>
> [mm]\Rightarrow f(z_{0})=0.[/mm]
Im Prinzip ist das richtig, aber etwas ungenau argumentiert. Erstens wirfst du die Symbole U und G durcheinander: in der Aufgabe ist U das Symbol für das Gebiet, nicht G.
Abgesehen davon kann es in einer beliebigen Umgebung U von [mm] $z_0$ [/mm] noch weitere Minima geben, d.h. es folgt zunächst einmal nur, dass es einen Punkt [mm] $z_1\in [/mm] U$ gibt, sodass [mm] $f(z_1)=0$. [/mm] Du musst also garantieren, dass [mm] $z_0$ [/mm] das einzige Minimum in U ist, erst dann kannst du folgern, dass [mm] $f(z_0)=0$ [/mm] ist.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:13 Mi 15.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Nimm an, es sei [mm] f(z_0) \ne [/mm] 0. Dann ex. eine offene Umgebung V von [mm] z_0 [/mm] mit V [mm] \subseteq [/mm] U und f(z) [mm] \ne [/mm] 0 für jedes z [mm] \in [/mm] V.
Für z [mm] \in [/mm] V setze g(z):=1/f(z). Wende auf g das Max.-Prinzip an.
FRED
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