Maximumstelle; Lösung der Glg. < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] $f(x)=x^{\bruch{1}{x}}$ [/mm] $(x>0)$.
(a) Bestimmen Sie [mm] $\limes_{x\rightarrow0}f(x)$ [/mm] und [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)$. [/mm] Zeigen Sie, dass $f$ genau ein Maximum besitzt und berechnen Sie die Maximumstelle.
(b) Sei [mm] $a>1,a\not=e$. [/mm] Zeigen Sie, dass die Gleichung [mm] $a^{x}=x^{a}$ [/mm] genau eine von $a$ verschiedene positive Lösung besitzt. (Hinweis: Veranschaulichen Sie sich die Bedingung $f(x)=f(a)$ im Graphen von $f$).
(c) Geben Sie alle Lösungen [mm] $m,n\in\IN,m\not=n$ [/mm] der Gleichung [mm] $m^{n}=n^{m}$ [/mm] an. |
Hallo.
Zunächst: Frohe Ostern! 
Ich hoffe, dass jemand trotz der Feiertage bereit ist, auf meine Fragen einzugehen.
Der Aufgabenteil (a) ist soweit nicht schwer. Ab dem Aufgabenteil (b) wird es aber etwas schwieriger und ich hoffe, dass ich nach einer Antwort auf meine zweite Frage besser durchblicken werde.
Vielen Dank für Eure Mühe.
Gruß
el_grecco
Musterlösung:
(a) Die beiden Grenzwerte wurden bereits bestimmt, und zwar in Aufgabe ... . Es geht also nur noch um die Unterscuhung auf Maxima.
Eine notwendige Bedingung dafür, dass ein Extremum vorliegt, ist $f'(x)=0$ (denn [mm] $\left] 0,\infty \right[$ [/mm] ist ein Intervall).
Also:
[mm] $f(x)=x^{\bruch{1}{x}}=\exp\left( \bruch{1}{x}\ln(x) \right)=\left( \exp\circ\left( \bruch{\ln}{id} \right)\right)(x) \Rightarrow f=\left( \exp\circ\left( \bruch{\ln}{id} \right)\right)$
[/mm]
d.h. $f$ ist differenzierbar auf dem Intervall [mm] $\left] 0,\infty \right[$ [/mm] nach Quotienten- und Kettenregel mit der Ableitung
[mm] $f'(x)=\exp'\left( \bruch{\ln(x)}{x} \right)*\left( \bruch{id*\ln'-id'*\ln}{id^{2}} \right)(x)=\exp\left( \bruch{1}{x}\ln(x) \right)*\bruch{x*\bruch{1}{x}-\ln(x)}{x^{2}}=x^{\bruch{1}{x}}*\bruch{1-\ln(x)}{x^{2}}$ [/mm] (**)
Damit:
$f'(x)=0 [mm] \gdw 1-\ln(x)=0 \gdw \ln(x)=1 \gdw [/mm] x=e$
Damit kann $f$ im Intervall [mm] $\left] 0,\infty \right[$ [/mm] höchsten ein Extremum besitzen, und zwar im Punkte $a:=e$.
(...)
### Meine Frage: In einer ähnlichen Aufgabe hat man ebenfalls nur einen gewissen Teil der ersten Ableitung betrachtet. Woher weiß ich, dass ich immer nur einen gewissen Teil - hier [mm] $1-\ln(x)$ [/mm] - der ersten Ableitung betrachten muss?###
(b) ###Bei Aufgabenteil (b) kann ich die Aufgabenstellung nicht richtig deuten. Was genau wird von mir in Worten verlangt?###
Es gilt für $x>0$:
$f(x)=f(a) [mm] \gdw x^{\bruch{1}{x}}=a^{\bruch{1}{a}} \gdw \exp\left( \bruch{1}{x}\ln(x) \right)=\exp\left( \bruch{1}{a}\ln(a) \right)$
[/mm]
[mm] $\gdw \bruch{1}{x}\ln(x)=\bruch{1}{a}\ln(a)$ [/mm] (da: [mm] $\exp$ [/mm] bijektiv)
[mm] $\gdw a\ln(x)=x\ln(a)$ [/mm] (da: $a>0$, $x>0$)
[mm] $\gdw \exp(a\ln(x))=\exp(x\ln(a))$ [/mm] (da: [mm] $\exp$ [/mm] bijektiv)
[mm] $\gdw x^{a}=a^{x}$
[/mm]
Nach Teil (a) ist [mm] $f|\left[ 0,e \right]$ [/mm] streng monoton wachsend, insbesondere also injektiv, weshalb es höchstens ein [mm] $x\in\left] 0,e \right]$ [/mm] geben kann mit $f(x)=f(a)$.
Ebenso ist nach Teil (a) [mm] $f|\left[ 0,\infty \right[$ [/mm] streng monoton fallend, d.h. wieder injektiv, so dass es auch im Intervall [mm] $\left[ e,\infty \right[$ [/mm] höchstens ein $x$ geben kann mit $f(x)=f(a)$.
Weil [mm] $\limes_{x\rightarrow0}f(x)=0$ [/mm] kann man definieren: $f(0):=0$ und erhält so eine stetige Fortsetzung der Funktion $f$ in den Punkt 0.
Sei also nun die Funktion $f$ auf diese Weise stetig fortgesetzt. Dann folgt mit dem Hilfssatz: [mm] $f|\left[ 0,e \right]$ [/mm] ist streng monoton wachsend.
Falls $1<a<e:$
[mm] $f|\left[ 0,e \right]$ [/mm] ist injektiv, d.h. im Intervall [mm] $\left[ 0,e \right]$ [/mm] gibt es neben $a$ selbst keine weitere Lösung der Gleichung $f(x)=f(a)$.
Da aber [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=1$ [/mm] und $1<a<e [mm] \Rightarrow [/mm] 1=f(1)<f(a)$, d.h. $c:=f(a)-1>0$, gibt es ein [mm] $\xi>e$, [/mm] so dass für alle [mm] $x>\xi$ [/mm] gilt:
$|f(x)-1|<c=f(a)-1 [mm] \Rightarrow f(x)-1\le|f(x)-1|
Also gilt für festes [mm] $x_{0}>\xi>e$ [/mm] (z.B. [mm] $x_{0}=2\xi$):
[/mm]
[mm] $e
Falls $a>e$:
Im Intervall [mm] $\left[ e,\infty \right[$ [/mm] ist $f$ streng monoton fallend, es kann also neben $a$ selbst kein weiteres [mm] $x\in\left[ e,\infty \right[$ [/mm] geben mit $f(x)=f(a)$.
Im Intervall [mm] $\left[ 0,e \right]$ [/mm] ist $f$ streng monoton wachsend, d.h. dort kann es noch höchstens ein solches $x$ mit $f(x)=f(a)$ geben.
Tatsächlich:
$e<a [mm] \Rightarrow [/mm] f(e)>f(a)$ (da $f$ im Intervall [mm] $\left[ e,\infty \right[$ [/mm] monoton fällt)
[mm] $\Rightarrow [/mm] f(0)=0<f(a)<f(e) [mm] \wedge [/mm] 0<e [mm] \wedge [/mm] (f)$ stetig
ZWS [mm] $\Rightarrow \exists x\in\left] 0,e \right[:f(x)=f(a)$,
[/mm]
und dieses $x$ ist wieder verschieden von $a$, weil ja $0<x<e<a$.
Also gibt es auch in diesem Fall genau eine von $a$ verschiedene Lösung der Gleichung $f(x)=f(a)$ q.e.d.
Insgesamt: Für jedes [mm] $a\in\IR,a>1$ [/mm] gibt es genau ein [mm] $b\in\IR,b\not=a$ [/mm] mit [mm] $a^{b}=b^{a}$, [/mm] und zwar:
[mm] $\left. \begin{matrix} \mbox{ falls}1e \\ \mbox{ falls}a>e:b
(c) Gesucht sind alle Lösungen der Gleichung [mm] $m^{n}=n^{m}$ [/mm] mit [mm] $m,n\in\IN$ [/mm] und $m<n$.
Sei also [mm] $m^{n}=n^{m}$ [/mm] für natürliche Zahlen $m$ und $n$ mit $m<n$.
Da nach [mm] $(\spadesuit\spadesuit)$ [/mm] für Lösungen der Gleichung [mm] $a^{b}=b^{a}$ [/mm] gilt, dass $a<e [mm] \gdw [/mm] b>e$, d.h. eine der beiden Zahlen, o.E. $a$, immer $a<e<3$ erfüllen muss, liefert [mm] $a\in\IN$, [/mm] dass $a=1$ oder $a=2$.
Falls [mm] $a=1:b^{1}=1^{a}=1 \Rightarrow [/mm] a=1=b$ Widerspruch! [mm] $(a\not=b)$
[/mm]
Falls [mm] $a=2:2^{4}=16=4^{2}$ [/mm] erfüllt die Bedingungen, d.h. $b=4$, und das ist die einzige Lösung nach Aufgabenteil (b) mit $a<b$. q.e.d.
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> Sei [mm]f(x)=x^{\bruch{1}{x}}[/mm] [mm](x>0)[/mm].
>
> (a) Bestimmen Sie [mm]\limes_{x\rightarrow0}f(x)[/mm] und
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)[/mm]. Zeigen Sie, dass [mm]f[/mm] genau
> ein Maximum besitzt und berechnen Sie die Maximumstelle.
>
> (b) Sei [mm]a>1,a\not=e[/mm]. Zeigen Sie, dass die Gleichung
> [mm]a^{x}=x^{a}[/mm] genau eine von [mm]a[/mm] verschiedene positive Lösung
> besitzt. (Hinweis: Veranschaulichen Sie sich die Bedingung
> [mm]f(x)=f(a)[/mm] im Graphen von [mm]f[/mm]).
>
> (c) Geben Sie alle Lösungen [mm]m,n\in\IN,m\not=n[/mm] der
> Gleichung [mm]m^{n}=n^{m}[/mm] an.
> Musterlösung:
>
> (a) Die beiden Grenzwerte wurden bereits bestimmt, und zwar
> in Aufgabe ... . Es geht also nur noch um die Unterscuhung
> auf Maxima.
> Eine notwendige Bedingung dafür, dass ein Extremum
> vorliegt, ist [mm]f'(x)=0[/mm] (denn [mm]\left] 0,\infty \right[[/mm] ist ein
> Intervall).
> Also:
>
> [mm]f(x)=x^{\bruch{1}{x}}=\exp\left( \bruch{1}{x}\ln(x) \right)=\left( \exp\circ\left( \bruch{\ln}{id} \right)\right)(x) \Rightarrow f=\left( \exp\circ\left( \bruch{\ln}{id} \right)\right)[/mm]
>
> d.h. [mm]f[/mm] ist differenzierbar auf dem Intervall [mm]\left] 0,\infty \right[[/mm]
> nach Quotienten- und Kettenregel mit der Ableitung
>
> [mm]f'(x)=\exp'\left( \bruch{\ln(x)}{x} \right)*\left( \bruch{id*\ln'-id'*\ln}{id^{2}} \right)(x)=\exp\left( \bruch{1}{x}\ln(x) \right)*\bruch{x*\bruch{1}{x}-\ln(x)}{x^{2}}=x^{\bruch{1}{x}}*\bruch{1-\ln(x)}{x^{2}}[/mm]
> (**)
>
> Damit:
>
> [mm]f'(x)=0 \gdw 1-\ln(x)=0 \gdw \ln(x)=1 \gdw x=e[/mm]
>
> Damit kann [mm]f[/mm] im Intervall [mm]\left] 0,\infty \right[[/mm] höchsten
> ein Extremum besitzen, und zwar im Punkte [mm]a:=e[/mm].
>
> (...)
>
> ### Meine Frage: In einer ähnlichen Aufgabe hat man
> ebenfalls nur einen gewissen Teil der ersten Ableitung
> betrachtet. Woher weiß ich, dass ich immer nur einen
> gewissen Teil - hier [mm]1-\ln(x)[/mm] - der ersten Ableitung
> betrachten muss?###
Hallo,
Du suchst die Nullstelle des Produktes [mm] f'(x)=x^{\bruch{1}{x}}*\bruch{1}{x^2}*(1-ln(x)).
[/mm]
Der entscheidenede Gedanke: das Produkt kann nur =0 sein, wenn einer der Faktoren =0 ist.
Die ersten beiden Faktoren können nicht =0 werden, also muß man nur schauen, für welches x der dritte Faktor zu 0 wird.
>
> (b) ###Bei Aufgabenteil (b) kann ich die Aufgabenstellung
> nicht richtig deuten. Was genau wird von mir in Worten
> verlangt?###
Nun, eigentlich wird das doch in der Aufgabenstellung genau gesagt: Du sollst zeigen, daß es für die Gleichung [mm] x^a=a^x [/mm] neben der wenig erstaunlichen Lösung x=0 noch genau eine weitere Lösung gibt.
Man muß bei sowas über zweierlei nachdenken:
1. es gibt eine weitere Lösung
2. es gibt nur diese eine weitere Lösung.
Gearbeitet wird in der Lösung mit der Äquivalenz [mm] x^a=a^x [/mm] <==> f(x)=f(a).
Es wird überlegt, warum es neben x=a nur genau eine Stelle geben kann mit f(x)=f(a).
Gruß v. Angela
>
> Es gilt für [mm]x>0[/mm]:
> [mm]f(x)=f(a) \gdw x^{\bruch{1}{x}}=a^{\bruch{1}{a}} \gdw \exp\left( \bruch{1}{x}\ln(x) \right)=\exp\left( \bruch{1}{a}\ln(a) \right)[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{1}{x}\ln(x)=\bruch{1}{a}\ln(a)[/mm] (da: [mm]\exp[/mm]
> bijektiv)
>
> [mm]\gdw a\ln(x)=x\ln(a)[/mm] (da: [mm]a>0[/mm], [mm]x>0[/mm])
>
> [mm]\gdw \exp(a\ln(x))=\exp(x\ln(a))[/mm] (da: [mm]\exp[/mm] bijektiv)
>
> [mm]\gdw x^{a}=a^{x}[/mm]
>
> Nach Teil (a) ist [mm]f|\left[ 0,e \right][/mm] streng monoton
> wachsend, insbesondere also injektiv, weshalb es höchstens
> ein [mm]x\in\left] 0,e \right][/mm] geben kann mit [mm]f(x)=f(a)[/mm].
> Ebenso ist nach Teil (a) [mm]f|\left[ 0,\infty \right[[/mm] streng
> monoton fallend, d.h. wieder injektiv, so dass es auch im
> Intervall [mm]\left[ e,\infty \right[[/mm] höchstens ein [mm]x[/mm] geben
> kann mit [mm]f(x)=f(a)[/mm].
> Weil [mm]\limes_{x\rightarrow0}f(x)=0[/mm] kann man definieren:
> [mm]f(0):=0[/mm] und erhält so eine stetige Fortsetzung der
> Funktion [mm]f[/mm] in den Punkt 0.
> Sei also nun die Funktion [mm]f[/mm] auf diese Weise stetig
> fortgesetzt. Dann folgt mit dem Hilfssatz: [mm]f|\left[ 0,e \right][/mm]
> ist streng monoton wachsend.
>
> Falls [mm]1
>
> [mm]f|\left[ 0,e \right][/mm] ist injektiv, d.h. im Intervall [mm]\left[ 0,e \right][/mm]
> gibt es neben [mm]a[/mm] selbst keine weitere Lösung der Gleichung
> [mm]f(x)=f(a)[/mm].
> Da aber [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=1[/mm] und [mm]1
> d.h. [mm]c:=f(a)-1>0[/mm], gibt es ein [mm]\xi>e[/mm], so dass für alle
> [mm]x>\xi[/mm] gilt:
>
> [mm]|f(x)-1|
>
> Also gilt für festes [mm]x_{0}>\xi>e[/mm] (z.B. [mm]x_{0}=2\xi[/mm]):
>
> [mm]e
> es gibt ein [mm]x\in\left] e,x_{0} \right[:f(x)=f(a)[/mm], und
> dieses [mm]x[/mm] ist von [mm]a[/mm] verschieden, da ja [mm]a
>
> Falls [mm]a>e[/mm]:
>
> Im Intervall [mm]\left[ e,\infty \right[[/mm] ist [mm]f[/mm] streng monoton
> fallend, es kann also neben [mm]a[/mm] selbst kein weiteres
> [mm]x\in\left[ e,\infty \right[[/mm] geben mit [mm]f(x)=f(a)[/mm].
> Im Intervall [mm]\left[ 0,e \right][/mm] ist [mm]f[/mm] streng monoton
> wachsend, d.h. dort kann es noch höchstens ein solches [mm]x[/mm]
> mit [mm]f(x)=f(a)[/mm] geben.
>
> Tatsächlich:
> [mm]ef(a)[/mm] (da [mm]f[/mm] im Intervall [mm]\left[ e,\infty \right[[/mm]
> monoton fällt)
> [mm]\Rightarrow f(0)=0
> ZWS [mm]\Rightarrow \exists x\in\left] 0,e \right[:f(x)=f(a)[/mm],
>
> und dieses [mm]x[/mm] ist wieder verschieden von [mm]a[/mm], weil ja
> [mm]0
> Also gibt es auch in diesem Fall genau eine von [mm]a[/mm]
> verschiedene Lösung der Gleichung [mm]f(x)=f(a)[/mm] q.e.d.
>
> Insgesamt: Für jedes [mm]a\in\IR,a>1[/mm] gibt es genau ein
> [mm]b\in\IR,b\not=a[/mm] mit [mm]a^{b}=b^{a}[/mm], und zwar:
>
> [mm]\left. \begin{matrix} \mbox{ falls}1e \\ \mbox{ falls}a>e:b
>
>
> (c) Gesucht sind alle Lösungen der Gleichung [mm]m^{n}=n^{m}[/mm]
> mit [mm]m,n\in\IN[/mm] und [mm]m
> Sei also [mm]m^{n}=n^{m}[/mm] für natürliche Zahlen [mm]m[/mm] und [mm]n[/mm] mit
> [mm]m
> Da nach [mm](\spadesuit\spadesuit)[/mm] für Lösungen der
> Gleichung [mm]a^{b}=b^{a}[/mm] gilt, dass [mm]ae[/mm], d.h. eine
> der beiden Zahlen, o.E. [mm]a[/mm], immer [mm]a
> liefert [mm]a\in\IN[/mm], dass [mm]a=1[/mm] oder [mm]a=2[/mm].
>
> Falls [mm]a=1:b^{1}=1^{a}=1 \Rightarrow a=1=b[/mm] Widerspruch!
> [mm](a\not=b)[/mm]
> Falls [mm]a=2:2^{4}=16=4^{2}[/mm] erfüllt die Bedingungen, d.h.
> [mm]b=4[/mm], und das ist die einzige Lösung nach Aufgabenteil (b)
> mit [mm]a
>
> Es gilt für [mm]x>0[/mm]:
> [mm]f(x)=f(a) \gdw x^{\bruch{1}{x}}=a^{\bruch{1}{a}} \gdw \exp\left( \bruch{1}{x}\ln(x) \right)=\exp\left( \bruch{1}{a}\ln(a) \right)[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{1}{x}\ln(x)=\bruch{1}{a}\ln(a)[/mm] (da: [mm]\exp[/mm]
> bijektiv)
>
> [mm]\gdw a\ln(x)=x\ln(a)[/mm] (da: [mm]a>0[/mm], [mm]x>0[/mm])
>
> [mm]\gdw \exp(a\ln(x))=\exp(x\ln(a))[/mm] (da: [mm]\exp[/mm] bijektiv)
>
> [mm]\gdw x^{a}=a^{x}[/mm]
>
> Nach Teil (a) ist [mm]f|\left[ 0,e \right][/mm] streng monoton
> wachsend, insbesondere also injektiv, weshalb es höchstens
> ein [mm]x\in\left] 0,e \right][/mm] geben kann mit [mm]f(x)=f(a)[/mm].
> Ebenso ist nach Teil (a) [mm]f|\left[ 0,\infty \right[[/mm] streng
> monoton fallend, d.h. wieder injektiv, so dass es auch im
> Intervall [mm]\left[ e,\infty \right[[/mm] höchstens ein [mm]x[/mm] geben
> kann mit [mm]f(x)=f(a)[/mm].
> Weil [mm]\limes_{x\rightarrow0}f(x)=0[/mm] kann man definieren:
> [mm]f(0):=0[/mm] und erhält so eine stetige Fortsetzung der
> Funktion [mm]f[/mm] in den Punkt 0.
> Sei also nun die Funktion [mm]f[/mm] auf diese Weise stetig
> fortgesetzt. Dann folgt mit dem Hilfssatz: [mm]f|\left[ 0,e \right][/mm]
> ist streng monoton wachsend.
>
> Falls [mm]1
>
> [mm]f|\left[ 0,e \right][/mm] ist injektiv, d.h. im Intervall [mm]\left[ 0,e \right][/mm]
> gibt es neben [mm]a[/mm] selbst keine weitere Lösung der Gleichung
> [mm]f(x)=f(a)[/mm].
> Da aber [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=1[/mm] und [mm]1
> d.h. [mm]c:=f(a)-1>0[/mm], gibt es ein [mm]\xi>e[/mm], so dass für alle
> [mm]x>\xi[/mm] gilt:
>
> [mm]|f(x)-1|
>
> Also gilt für festes [mm]x_{0}>\xi>e[/mm] (z.B. [mm]x_{0}=2\xi[/mm]):
>
> [mm]e
> es gibt ein [mm]x\in\left] e,x_{0} \right[:f(x)=f(a)[/mm], und
> dieses [mm]x[/mm] ist von [mm]a[/mm] verschieden, da ja [mm]a
>
> Falls [mm]a>e[/mm]:
>
> Im Intervall [mm]\left[ e,\infty \right[[/mm] ist [mm]f[/mm] streng monoton
> fallend, es kann also neben [mm]a[/mm] selbst kein weiteres
> [mm]x\in\left[ e,\infty \right[[/mm] geben mit [mm]f(x)=f(a)[/mm].
> Im Intervall [mm]\left[ 0,e \right][/mm] ist [mm]f[/mm] streng monoton
> wachsend, d.h. dort kann es noch höchstens ein solches [mm]x[/mm]
> mit [mm]f(x)=f(a)[/mm] geben.
>
> Tatsächlich:
> [mm]ef(a)[/mm] (da [mm]f[/mm] im Intervall [mm]\left[ e,\infty \right[[/mm]
> monoton fällt)
> [mm]\Rightarrow f(0)=0
> ZWS [mm]\Rightarrow \exists x\in\left] 0,e \right[:f(x)=f(a)[/mm],
>
> und dieses [mm]x[/mm] ist wieder verschieden von [mm]a[/mm], weil ja
> [mm]0
> Also gibt es auch in diesem Fall genau eine von [mm]a[/mm]
> verschiedene Lösung der Gleichung [mm]f(x)=f(a)[/mm] q.e.d.
>
> Insgesamt: Für jedes [mm]a\in\IR,a>1[/mm] gibt es genau ein
> [mm]b\in\IR,b\not=a[/mm] mit [mm]a^{b}=b^{a}[/mm], und zwar:
>
> [mm]\left. \begin{matrix} \mbox{ falls}1e \\ \mbox{ falls}a>e:b
>
>
> (c) Gesucht sind alle Lösungen der Gleichung [mm]m^{n}=n^{m}[/mm]
> mit [mm]m,n\in\IN[/mm] und [mm]m
> Sei also [mm]m^{n}=n^{m}[/mm] für natürliche Zahlen [mm]m[/mm] und [mm]n[/mm] mit
> [mm]m
> Da nach [mm](\spadesuit\spadesuit)[/mm] für Lösungen der
> Gleichung [mm]a^{b}=b^{a}[/mm] gilt, dass [mm]ae[/mm], d.h. eine
> der beiden Zahlen, o.E. [mm]a[/mm], immer [mm]a
> liefert [mm]a\in\IN[/mm], dass [mm]a=1[/mm] oder [mm]a=2[/mm].
>
> Falls [mm]a=1:b^{1}=1^{a}=1 \Rightarrow a=1=b[/mm] Widerspruch!
> [mm](a\not=b)[/mm]
> Falls [mm]a=2:2^{4}=16=4^{2}[/mm] erfüllt die Bedingungen, d.h.
> [mm]b=4[/mm], und das ist die einzige Lösung nach Aufgabenteil (b)
> mit [mm]a
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Dank soweit.
Mit der (b) komme ich leider immer noch nicht ganz klar.
Ist mit dem $a$ in der Fallunterscheidung das Extremum $a:=e$ aus der Teilaufgabe (a) gemeint?
Falls ja, dann verwirrt mich das, denn es wurde doch festgestellt, dass $a:=e$, hier heißt es dann aber $1<a<e$.
Gruß
el_grecco
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> Dank soweit.
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> Mit der (b) komme ich leider immer noch nicht ganz klar.
>
> Ist mit dem [mm]a[/mm] in der Fallunterscheidung das Extremum [mm]a:=e[/mm]
> aus der Teilaufgabe (a) gemeint?
Nein.
Es ist einfach irgendein festes (aber beliebiges) a gemeint, welches größer als 1 ist, und es steht in der Aufgabenstellung noch da, daß dieses [mm] a\not=e [/mm] sein soll.
Es ist sicher etwas ungeschickt von den Chefs, in Teil (a) der Musterlösung a:=e zu schreiben.
Vergiß das a aus Teil (a).
Gruß v. Angela
> Falls ja, dann verwirrt mich das, denn es wurde doch
> festgestellt, dass [mm]a:=e[/mm], hier heißt es dann aber [mm]1
>
> Gruß
> el_grecco
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Hallo.
Mit den neuen Infos habe ich versucht, endlich die Lösung zu begreifen, aber es will einfach noch nicht hinhauen.
Ich bitte deshalb ganz dringend um eine Erklärung in Worten.
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
(b)Es gilt für $x>0$:
$f(x)=f(a) [mm] \gdw x^{\bruch{1}{x}}=a^{\bruch{1}{a}} \gdw \exp\left( \bruch{1}{x}\ln(x) \right)=\exp\left( \bruch{1}{a}\ln(a) \right)$
[/mm]
[mm] $\gdw \bruch{1}{x}\ln(x)=\bruch{1}{a}\ln(a)$ [/mm] (da: [mm] $\exp$ [/mm] bijektiv)
[mm] $\gdw a\ln(x)=x\ln(a)$ [/mm] (da: $a>0$, $x>0$)
[mm] $\gdw \exp(a\ln(x))=\exp(x\ln(a))$ [/mm] (da: [mm] $\exp$ [/mm] bijektiv)
[mm] $\gdw x^{a}=a^{x}$
[/mm]
Nach Teil (a) ist [mm] $f|\left[ 0,e \right]$ [/mm] streng monoton wachsend, insbesondere also injektiv, weshalb es höchstens ein [mm] $x\in\left] 0,e \right]$ [/mm] geben kann mit $f(x)=f(a)$.
Ebenso ist nach Teil (a) [mm] $f|\left[ 0,\infty \right[$ [/mm] streng monoton fallend, d.h. wieder injektiv, so dass es auch im Intervall [mm] $\left[ e,\infty \right[$ [/mm] höchstens ein $x$ geben kann mit $f(x)=f(a)$.
###Injektivität bedeutet ja, dass jeder Punkt in der Zielmenge höchstens einmal getroffen wird. Logisch, dass es dann im jeweiligen Intervall maximal ein x geben kann, sodass f(x)=f(a). In welchem Fall würde es aber mehrere x geben bzw. wie müsste dann der Graph in etwa aussehen?###
Weil [mm] $\limes_{x\rightarrow0}f(x)=0$ [/mm] kann man definieren: $f(0):=0$ und erhält so eine stetige Fortsetzung der Funktion $f$ in den Punkt 0.
Sei also nun die Funktion $f$ auf diese Weise stetig fortgesetzt. Dann folgt mit dem Hilfssatz: [mm] $f|\left[ 0,e \right]$ [/mm] ist streng monoton wachsend.
Falls $1<a<e:$
[mm] $f|\left[ 0,e \right]$ [/mm] ist injektiv, d.h. im Intervall [mm] $\left[ 0,e \right]$ [/mm] gibt es neben $a$ selbst keine weitere Lösung der Gleichung $f(x)=f(a)$.
Da aber [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=1$ [/mm] und $1<a<e [mm] \Rightarrow [/mm] 1=f(1)<f(a)$, d.h. $c:=f(a)-1>0$, gibt es ein [mm] $\xi>e$, [/mm] so dass für alle [mm] $x>\xi$ [/mm] gilt:
$|f(x)-1|<c=f(a)-1 [mm] \Rightarrow f(x)-1\le|f(x)-1|
###Kann mir bitte jemand in Worten - möglichst "Dummy" gerecht - beschreiben, was hier ab dem ersten [mm] $\xi$ [/mm] gemacht worden ist?###
Also gilt für festes [mm] $x_{0}>\xi>e$ [/mm] (z.B. [mm] $x_{0}=2\xi$):
[/mm]
[mm] $e
###Auch hier wäre ich für eine Beschreibung in Worten sehr dankbar.###
Falls $a>e$:
Im Intervall [mm] $\left[ e,\infty \right[$ [/mm] ist $f$ streng monoton fallend, es kann also neben $a$ selbst kein weiteres [mm] $x\in\left[ e,\infty \right[$ [/mm] geben mit $f(x)=f(a)$.
Im Intervall [mm] $\left[ 0,e \right]$ [/mm] ist $f$ streng monoton wachsend, d.h. dort kann es noch höchstens ein solches $x$ mit $f(x)=f(a)$ geben.
###Nur für das Verständnis: könnte man auch hier wieder mit der Injektivität argumentieren?###
Tatsächlich:
$e<a [mm] \Rightarrow [/mm] f(e)>f(a)$ (da $f$ im Intervall [mm] $\left[ e,\infty \right[$ [/mm] monoton fällt)
[mm] $\Rightarrow [/mm] f(0)=0<f(a)<f(e) [mm] \wedge [/mm] 0<e [mm] \wedge [/mm] (f)$ stetig
ZWS [mm] $\Rightarrow \exists x\in\left] 0,e \right[:f(x)=f(a)$,
[/mm]
und dieses $x$ ist wieder verschieden von $a$, weil ja $0<x<e<a$.
Also gibt es auch in diesem Fall genau eine von $a$ verschiedene Lösung der Gleichung $f(x)=f(a)$ q.e.d.
###Ich verstehe hier nicht ganz, in welcher Art und Weise der Zwischenwertsatz verwendet worden ist###
Insgesamt: Für jedes [mm] $a\in\IR,a>1$ [/mm] gibt es genau ein [mm] $b\in\IR,b\not=a$ [/mm] mit [mm] $a^{b}=b^{a}$, [/mm] und zwar:
[mm] $\left. \begin{matrix} \mbox{ falls}1e \\ \mbox{ falls}a>e:b
###Das Fazit leuchtet mir nicht ganz ein, vor allem welche Rolle nun das b spielen soll?###
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> Hallo.
> Mit den neuen Infos habe ich versucht, endlich die Lösung
> zu begreifen, aber es will einfach noch nicht hinhauen.
> Ich bitte deshalb ganz dringend um eine Erklärung in
> Worten.
>
> Vielen Dank.
>
> Gruß
> el_grecco
>
>
>
> (b)Es gilt für [mm]x>0[/mm]:
> [mm]f(x)=f(a) \gdw x^{\bruch{1}{x}}=a^{\bruch{1}{a}} \gdw \exp\left( \bruch{1}{x}\ln(x) \right)=\exp\left( \bruch{1}{a}\ln(a) \right)[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{1}{x}\ln(x)=\bruch{1}{a}\ln(a)[/mm] (da: [mm]\exp[/mm]
> bijektiv)
>
> [mm]\gdw a\ln(x)=x\ln(a)[/mm] (da: [mm]a>0[/mm], [mm]x>0[/mm])
>
> [mm]\gdw \exp(a\ln(x))=\exp(x\ln(a))[/mm] (da: [mm]\exp[/mm] bijektiv)
>
> [mm]\gdw x^{a}=a^{x}[/mm]
>
> Nach Teil (a) ist [mm]f|\left[ 0,e \right][/mm] streng monoton
> wachsend, insbesondere also injektiv, weshalb es höchstens
> ein [mm]x\in\left] 0,e \right][/mm] geben kann mit [mm]f(x)=f(a)[/mm].
> Ebenso ist nach Teil (a) [mm]f|\left[ 0,\infty \right[[/mm] streng
> monoton fallend, d.h. wieder injektiv, so dass es auch im
> Intervall [mm]\left[ e,\infty \right[[/mm] höchstens ein [mm]x[/mm] geben
> kann mit [mm]f(x)=f(a)[/mm].
>
> ###Injektivität bedeutet ja, dass jeder Punkt in der
> Zielmenge höchstens einmal getroffen wird. Logisch, dass
> es dann im jeweiligen Intervall maximal ein x geben kann,
> sodass f(x)=f(a). In welchem Fall würde es aber mehrere x
> geben bzw. wie müsste dann der Graph in etwa aussehen?###
Hallo,
Wir betrachten die Funktion über [0,e].
Wir haben es mit einer stetigen Funktion zu tun.
Wäre sie nicht injektiv, dann wäre sie nicht streng monoton, denn
sie hätte an zwei Stellen denselben Funktionswert (Skizze machen).
Bei differenzierbaren Funktionen (Deine Funktion ist diffbar) liegt zwischen zwei Stellen mit demselben Funktionswert nach dem MWS eine Stelle, an der die Ableitung =0 ist.
So, jetzt mal grob, wie es weitergeht:
Bis hierher hast Du gelernt, daß es höchstens noch eine Stelle [mm] x\not=a [/mm] geben kann mit f(x)=f(a), und nun soll gezeigt werden, daß es wirklich eine gibt.
1.
Wenn 1<a<e, dann muß dieses x nach den Überlegungen von oben im Intervall ]e, [mm] \infty[ [/mm] liegen.
Aufgrund der Monotonie ist f(1)<f(a)<f(e), und weil f(1)=1, gilt also 1<f(a)<f(e).
Mal angenommen, im rechten Intervall gäbe es keine Stelle x mit f(a)=f(x).
Dann müßten im rechten Intervall alle Funktionswerte oberhalb von f(a) liegen.
Weil die Funktion aber für [mm] $x\to \infty [/mm] $ den Grenzwert 1 hat, kann das nicht sein.
2.
Wenn e<a, dann gilt aufgrund der Monotonie und des Grenzverhaltens 1<f(a)<f(e).
Aufgrund des ZWS muß der Funktionswert auch im Intervall [0,e] angenommen werden, denn dort liegen die Funktionswerte zwischen 0 und f(e), und f(e) ist ja größer als 1.
Ganz unten fragst Du nach dem b.
Es ist gezeigt, daß es genau eine von a verschiedene Stelle gibt, an der Funktionswert ebenfalls f(a) ist.
Diese gefundene Stelle kann man, wenn einem entsprechend zumute ist, b taufen, und unten wird bloß gesagt:
wenn das a im linken Intervall liegt, dann findet man dieses passende b im linken und umgekehrt.
Gruß v. Angela
P.S.: An solche Aufgaben kann man meist mit einer Skizze und gesundem Menschenverstand herangehen.
Wichtig ist, daß man jede Folgerung, die man anschaulich-intuitiv gewinnt, mit bewiesenen Sätzen untermauert.
>
> Weil [mm]\limes_{x\rightarrow0}f(x)=0[/mm] kann man definieren:
> [mm]f(0):=0[/mm] und erhält so eine stetige Fortsetzung der
> Funktion [mm]f[/mm] in den Punkt 0.
> Sei also nun die Funktion [mm]f[/mm] auf diese Weise stetig
> fortgesetzt. Dann folgt mit dem Hilfssatz: [mm]f|\left[ 0,e \right][/mm]
> ist streng monoton wachsend.
>
> Falls [mm]1
>
> [mm]f|\left[ 0,e \right][/mm] ist injektiv, d.h. im Intervall [mm]\left[ 0,e \right][/mm]
> gibt es neben [mm]a[/mm] selbst keine weitere Lösung der Gleichung
> [mm]f(x)=f(a)[/mm].
> Da aber [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=1[/mm] und [mm]1
> d.h. [mm]c:=f(a)-1>0[/mm], gibt es ein [mm]\xi>e[/mm], so dass für alle
> [mm]x>\xi[/mm] gilt:
>
> [mm]|f(x)-1|
>
> ###Kann mir bitte jemand in Worten - möglichst "Dummy"
> gerecht - beschreiben, was hier ab dem ersten [mm]\xi[/mm] gemacht
> worden ist?###
>
> Also gilt für festes [mm]x_{0}>\xi>e[/mm] (z.B. [mm]x_{0}=2\xi[/mm]):
>
> [mm]e
> es gibt ein [mm]x\in\left] e,x_{0} \right[:f(x)=f(a)[/mm], und
> dieses [mm]x[/mm] ist von [mm]a[/mm] verschieden, da ja [mm]a
>
> ###Auch hier wäre ich für eine Beschreibung in Worten
> sehr dankbar.###
>
> Falls [mm]a>e[/mm]:
>
> Im Intervall [mm]\left[ e,\infty \right[[/mm] ist [mm]f[/mm] streng monoton
> fallend, es kann also neben [mm]a[/mm] selbst kein weiteres
> [mm]x\in\left[ e,\infty \right[[/mm] geben mit [mm]f(x)=f(a)[/mm].
> Im Intervall [mm]\left[ 0,e \right][/mm] ist [mm]f[/mm] streng monoton
> wachsend, d.h. dort kann es noch höchstens ein solches [mm]x[/mm]
> mit [mm]f(x)=f(a)[/mm] geben.
>
> ###Nur für das Verständnis: könnte man auch hier wieder
> mit der Injektivität argumentieren?###
>
> Tatsächlich:
> [mm]ef(a)[/mm] (da [mm]f[/mm] im Intervall [mm]\left[ e,\infty \right[[/mm]
> monoton fällt)
> [mm]\Rightarrow f(0)=0
> ZWS [mm]\Rightarrow \exists x\in\left] 0,e \right[:f(x)=f(a)[/mm],
>
> und dieses [mm]x[/mm] ist wieder verschieden von [mm]a[/mm], weil ja
> [mm]0
> Also gibt es auch in diesem Fall genau eine von [mm]a[/mm]
> verschiedene Lösung der Gleichung [mm]f(x)=f(a)[/mm] q.e.d.
>
> ###Ich verstehe hier nicht ganz, in welcher Art und Weise
> der Zwischenwertsatz verwendet worden ist###
>
> Insgesamt: Für jedes [mm]a\in\IR,a>1[/mm] gibt es genau ein
> [mm]b\in\IR,b\not=a[/mm] mit [mm]a^{b}=b^{a}[/mm], und zwar:
>
> [mm]\left. \begin{matrix} \mbox{ falls}1e \\ \mbox{ falls}a>e:b
>
> ###Das Fazit leuchtet mir nicht ganz ein, vor allem welche
> Rolle nun das b spielen soll?###
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Danke für die gute Erklärung in Worten. So manche Musterlösung sollte sich daran ein Beispiel nehmen.
Einzig diesen Teil verstehe ich noch nicht so ganz:
> Wäre sie nicht injektiv, dann wäre sie nicht streng
> monoton, denn
> sie hätte an zwei Stellen denselben Funktionswert (Skizze
> machen).
Wäre ein geeignetes Gegenbeispiel [mm] $f(x)=x^{2}$ [/mm] mit beispielsweise $x=2$ und $a=-2$, denn das ergibt beide Male $4$?
Sollte das Gegenbeispiel falsch sein, bitte ich ganz dringend um eine einfache Skizze, falls ich damit nicht zuviel verlange...
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:32 Di 06.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Bsp ist richtig
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:50 Di 06.04.2010 | | Autor: | el_grecco |
Danke leduart.
Gruß
el_grecco
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